Question

已知：⊙O是正三角形ABC的外接圆．
（1）如图1，若PC为⊙O的直径，连接AP，BP，求证：AP+BP=PC；
（2）如图2，若点P是弧AB上任一点，连接AP，BP，那么结论AP+BP=PC还成立吗？试证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据△ABC为正三角形，和直径所对的圆周角是90度，可得到直角三角形，利用直角三角形的特殊性质即可求解；
（2）在PC上取一点D，使PD=PA，连接AD，先证明△APD为等边三角形，再求得△APB≌△ADC，得到PB=DC，通过等量代换即可求解．

解答：证明：（1）∵△ABC为正三角形，
∴∠APC=∠BPC=60°，
∵PC为⊙O的直径，
∴∠PAC=∠PBC=90°，
∴AP=BP=

1

2

PC，
∴AP+BP=PC；

（2）成立．
在PC上取一点D，使PD=PA，连接AD；
∵∠APD=60°，
∴△APD为等边三角形，
∴AD=PD；
∵∠PAD=∠BAC=60°，
∴∠PAB=∠DAC，
∵AP=AD，AB=AC，
∴△APB≌△ADC，
∴PB=DC，
∴PA+PB=PD+DC=PC．

点评：主要考查了等边三角形的外接圆的性质和等边三角形的性质，以及全等三角形的判定．要掌握这些性质才能灵活解题．