Question

13．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．
（1）证明：∠E=∠C；
（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；
（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=$\frac{2}{3}$，E是$\widehat{AB}$的中点，求EG•ED的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，再利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；
（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°-∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；
（3）根据cosB=$\frac{2}{3}$，得出AB的长，即可求出AE的长，再判断△AEG∽△DEA，求出EG•ED的值．

解答 （1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵CD=BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠B=∠E，
∴∠E=∠C；

（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD=180°-∠E，
又∵∠CFD=180°-∠AFD，
∴∠CFD=∠E=55°，
又∵∠E=∠C=55°，
∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；

（3）解：连接OE，
∵∠CFD=∠E=∠C，
∴FD=CD=BD=4，
在Rt△ABD中，cosB=$\frac{2}{3}$，BD=4，
∴AB=6，
∵E是$\widehat{AB}$的中点，AB是⊙O的直径，
∴∠AOE=90°，
∵AO=OE=3，
∴AE=3$\sqrt{2}$，
∵E是$\widehat{AB}$的中点，
∴∠ADE=∠EAB，
∴△AEG∽△DEA，
∴$\frac{AE}{EG}$=$\frac{DE}{AE}$，
即EG•ED=AE²=18．

点评 此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质等知识，根据题意得出AE，AB的长是解题关键．