Question

已知，如图：直线AB：y=x+8与x轴、y轴分别相交于点B、A，过点A作直线AB的垂线交x轴于点D．
（1）求证：△AOB≌△AOD；
（2）求A、D两点确定的直线的函数关系式；
（3）若点C是y轴负半轴上的任意一点，过点C作BC的垂线与AD相交于点E，请你判断：线段BC与CE的大小关系？并证明你的判断．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）通过ASA证明△AOB≌△AOD；
（2）根据全等三角形的性质可得OD=OB=8，则D（0，8），再根据待定系数法可得直线AD的函数关系式；
（3）过点C作CF⊥y轴，交直线AB于点F，ASA证明△ACE≌△FCB，再根据全等三角形的性质即可求解．

解答：（1）解：对于直线y=x+8，
令x=0，求得y=8；令y=0，求得x=-8，
∴A（0，8），B（-8，0），
∴OA=OB=8，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
又∵DA⊥AB，
∴∠OAD=90°-∠OAB=45°，
∴∠BAO=∠OAD，
又∵∠AOB=∠DOB=90°，
在△AOB和△AOD中，

∠BAO=∠OAD AO=AO ∠AOB=∠AOD

，
∴△AOB≌△AOD（ASA），

（2）解：∵△AOB≌△AOD，
∴OD=OB=8，
∴D（8，0），
设AD的解析式为y=kx+b，则

8k+b=0 b=8

解得k=-1，b=8．
∴AD的解析式为y=-x+8．

（3）BC=CE，
证明：过点C作CF⊥y轴，交直线AB于点F，
∵BC⊥CE，
∴∠BCE=∠ACF=90°，
∴∠BCF=∠ACE，
又∵∠OAB=∠OAD=45°，
∴∠CFA=90°-45°=∠OAD，
∴∠BAC=∠AFC，
∴CA=CF，
在△ACE和△FCB中

∠EAC=∠AFC CA=CF ∠BCF=∠ACE

，
∴△ACE≌△FCB（ASA），
∴BC=CE．
其它方法一：连接CD，然后证CD=CE；方法二：过点C作CG⊥y轴，交直线AD于点G，证△ECG≌△BCA．

点评：考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的特征，全等三角形的判定和性质，待定系数法求直线的函数关系式，等腰直角三角形的性质，综合性较强，有一定的难度．