Question

15．已知a²+b²-6a-8b=-25，求a、b的值．
分析：“若几个非负数的和为零，则这几个非负数皆为零”，当一个等式里含有几个未知数时，若能将该等式化为几个非负数的和的形式，便能利用上述性质来求解．
例如，讲方程a²+b²-6a-8b=-25，化为（a-3）²+（b-4）²=0，从而求得a=3，b=4．
再如，将方程a+b-$2\sqrt{a}$-2$\sqrt{b-1}$+1=0化为a-2$\sqrt{a}$+1+（b-1）2$\sqrt{b-1}$+1=0，
再将方程左边配成两个完全平方式和（$\sqrt{a}$-1）²+$\sqrt{b-1}$-1）²=0，从而求得a=1，b=2．
使用类似的方法解决下面的问题：
（1）已知a+b=2$\sqrt{ab}$（a＞0，b＞0），求$\frac{\sqrt{4a-b}}{\sqrt{5a+7b}}$的值．
（2）已知a+b+c=2$\sqrt{a+1}$+4$\sqrt{b+1}$+6$\sqrt{c-2}$-14．求a、b、c的值．

Answer 1

分析 （1）首先把a+b=2$\sqrt{ab}$两边平方，整理得出（a-b）²=0，得出a=b，进一步代换求得数值即可；
（2）先移项，再利用配方法得到a+1-2$\sqrt{a+1}$+1+b+1-4$\sqrt{b+1}$+4+c-2-6$\sqrt{c-2}$+9=0即有（$\sqrt{a+1}$-1）²+（$\sqrt{b+1}$-2）²+（$\sqrt{c-2}$-3）²=0，然后根据非负数的性质得$\sqrt{a+1}$-1=0，$\sqrt{b+1}$-2=0，$\sqrt{c-2}$-3=0解得a=0，b=3，c=4．

解答 解：（1）∵a+b=2$\sqrt{ab}$，
∴a²+2ab+b²=4ab，
∴（a-b）²=0，
∴a=b，
∴$\frac{\sqrt{4a-b}}{\sqrt{5a+7b}}$=$\sqrt{\frac{3a}{12a}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{2}$；

（2）∵a+b+c=2$\sqrt{a+1}$+4$\sqrt{b+1}$+6$\sqrt{c-2}$-14，
∴a+1-2$\sqrt{a+1}$+1+b+1-4$\sqrt{b+1}$+4+c-2-6$\sqrt{c-2}$+9=0，
∴（$\sqrt{a+1}$-1）²+（$\sqrt{b+1}$-2）²+（$\sqrt{c-2}$-3）²=0，
∴$\sqrt{a+1}$-1=0，$\sqrt{b+1}$-2=0，$\sqrt{c-2}$-3=0，
∴a+1=1，b+1=4，c-2=3，
∴a=0，b=3，c=4．

点评 本题考查了配方法的应用：用配方法解一元二次方程，配方法的理论依据是公式a²±2ab+b²=（a±b）²；利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．也考查了非负数的性质．