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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=3，BC=9，tan∠ABC=
    43
    ，直线MN是梯形精英家教网的对称轴，点P是线段MN上一个动点（不与M、N重合），射线BP交线段CD于点E，过点C作CF∥AB交射线BP于点F．
    （1）求证：PC2=PE•PF；
    （2）设PN=x，CE=y，试建立y和x之间的函数关系式，并求出定义域；
    （3）连接PD，在点P运动过程中，如果△EFC和△PDC相似，求出PN的长．
    分析：（1）利用相似三角形的判定定理求出△PEC∽△PCF，再利用相似三角形的性质求出
    PC
    PF
    =
    PE
    PC
    ；
    （2）利用平行线的性质得出
    PN
    EG
    =
    BN
    BG
    ；
    （3）利用逆推求PN的长．
    解答：解：（1）∵AD∥BC，AB=CD，
    ∴∠ABC=∠DCB，
    ∵直线MN是梯形的对称轴，
    ∴PB=PC．
    ∴∠PBC=∠PCB，
    ∴∠ABP=∠DCP，
    ∵AB∥CF
    ∴∠ABP=∠F
    ∴∠F=∠DCP．
    ∵∠EPC=∠FPC，
    ∴△PEC∽△PCF，
    ∴PC2=PE•PF；

    （2）过点E作EG⊥BC于G．精英家教网
    ∵tan∠ABC=tan∠DCB=
    4
    3
    ，
    ∴EG=
    4
    5
    y，GC=
    3
    5
    y    ．
    由题意有EG∥MN，
    ∴
    PN
    EG
    =
    BN
    BG
    ，即
    x
    4
    5
    y
    =
    4.5
    9-
    3
    5
    y
    ，
    ∴y=
    15x
    x+6
    （0＜x≤3）；

    （3）（Ⅰ）当∠PDC=∠DCF时，PD∥CF，
    ∴∠F=∠DPF，
    ∵AB∥CF，
    ∴∠ABF=∠DPF，
    ∴∠MDP=∠ABC，
    ∵tan∠MDP=tan∠ABC=
    3
    4
    ，
    ∴
    1.5
    4-x
    =
    3
    4
    ，
    ∴x=2．精英家教网
    （Ⅱ）当∠PDC=∠FEC=∠DEP时，过点P作PH⊥DE交AD的延长线于点O．
    则DH=EH=
    5-y
    2
    ．
    ∴∠ODC=∠DCB，
    ∴DO=
    DH
    cos∠ODH
    =
    5-y
    2
    •
    5
    3
    ，
    又∵
    MO
    MP
    =
    4
    3
    ，
    ∴x=
    25±
    		241
    16
    ．
    因为2都在定义域内，所以当x=
    25±
    		241
    16
    或x=2时，△EFC和△PDC相似．
    点评：主要考查相似三角形的判定定理及性质和平行线的性质．
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    （2）设PN=x，CE=y，试建立y和x之间的函数关系式，并求出定义域；
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