Question

已知a、b、c、d是非零实数，并满足

a+b+c-d

d

=

a+b-c+d

c

=

a-b+c+d

b

=

-a+b+c+d

a

，则代数式

(a+b+c)(b+c+d)(a+b+d)(a+c+d)

abcd

的值是（　　）

A．81

B．3

C．81或1

D．3或1

Answer 1

分析：先由分式的加法法则将已知等式变形为

a+b+c

d

-

d

d

=

a+b+d

c

-

c

c

=

a+c+d

b

-

b

b

=

b+c+d

a

-

a

a

，得出

a+b+c

d

=

a+b+d

c

=

a+c+d

b

=

b+c+d

a

．再分两种情况讨论：①当a+b+c+d=0时，易求代数式

(a+b+c)(b+c+d)(a+b+d)(a+c+d)

abcd

的值是1；②当a+b+c+d≠0时，设

a+b+c

d

=

a+b+d

c

=

a+c+d

b

=

b+c+d

a

=k，先根据等比性质得出k=3，则a+b+c=3d，a+b+d=3c，a+c+d=3b，b+c+d=3a，然后代入

(a+b+c)(b+c+d)(a+b+d)(a+c+d)

abcd

，即可求出其值．

解答：解：∵

a+b+c-d

d

=

a+b-c+d

c

=

a-b+c+d

b

=

-a+b+c+d

a

，
∴

a+b+c

d

-

d

d

=

a+b+d

c

-

c

c

=

a+c+d

b

-

b

b

=

b+c+d

a

-

a

a

，
∴

a+b+c

d

-1=

a+b+d

c

-1=

a+c+d

b

-1=

b+c+d

a

-1，
∴

a+b+c

d

=

a+b+d

c

=

a+c+d

b

=

b+c+d

a

．
分两种情况：
①当a+b+c+d=0时，

(a+b+c)(b+c+d)(a+b+d)(a+c+d)

abcd

=

(-d)(-a)(-c)(-b)

abcd

=1；
②当a+b+c+d≠0时，
设

a+b+c

d

=

a+b+d

c

=

a+c+d

b

=

b+c+d

a

=k，
则k=

(a+b+c)+(a+b+d)+(a+c+d)+(b+c+d)

d+c+b+a

=

3a+3b+3c+3d

a+b+c+d

=3，
a+b+c=3d，a+b+d=3c，a+c+d=3b，b+c+d=3a，
∴

(a+b+c)(b+c+d)(a+b+d)(a+c+d)

abcd

=

3d•3a•3c•3b

abcd

=81．
综上可知，代数式

(a+b+c)(b+c+d)(a+b+d)(a+c+d)

abcd

的值是1或81．
故选C．

点评：本题考查了比例的性质，分式加法法则的逆用，其中分类讨论是关键，本题有一定难度．