Question

如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于E，求：

(1)当∠DAE＝3∠BAE时，∠CAE的度数；

(2)若BE∶ED＝1∶3，AD＝6，求AE等于多少？

Answer 1

答案：
解析：
提示：

分析：(1)由矩形的性质可知∠DAB＝90°，即OA＝OB，加之AE⊥BO于E，和∠DAE＝3∠DAE，易求得∠CAE的度数． 　　(2)由矩形知OB＝OD＝BD，又∵BE∶ED＝1∶3，可推出BE＝OE，则AE是OB是中垂线，从而可推得∠ABD＝60°，∠ADB＝30°，易求得AE＝3． 　　点评：(1)题用到了矩形的性质中的每一内角为90°，求得∠BAE，再用到矩形对角线互相平分得∠BAO＝∠ABO，从而使问题得以解决；(2)题用到了线段的垂直平分线定理及其逆定理，还用到了直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半．当矩形对角线交角为60°或120°时，可得等边三角形和含30°角的直角三角形，从而可利用它们的性质解题．