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    已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．
    （1）①折叠后的所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度；
         ②如图2，当折叠后的经过圆心为O时，求的长度；
         ③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；
    （2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．
    ①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB、CD的距离之和为d，求d的值；
    ②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．

    【答案】分析：（1）①折叠后的所在圆O′与⊙O是等圆，可得O′A的长度；
    ②如图2，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接OA、OB、AE、BE，可得△OAE、△OBE为等边三角形，从而得到的圆心角，再根据弧长公式计算即可；
    ③如图3，连接O′A、O′B，过点O′作O′E⊥AB于点E，可得△AO′B为等边三角形，根据三角函数的知识可求折叠后求所在圆的圆心O′到弦AB的距离；
    （2）①如图4，与所在圆外切于点P时，过点O作EF⊥AB交于于点E，交于点F，根据折叠的性质，可求点O到AB、CD的距离之和；
    ②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得证．
    解答：解：（1）①折叠后的所在圆O′与⊙O是等圆，
    ∴O′A=OA=2；
    ②当经过圆O时，折叠后的所在圆O′在⊙O上，如图2所示，连接O′A、OA、O′B，OB，OO′
    ∵△OO′A△OO′B为等边三角形，
    ∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°
    ∴==；
    ③如图3所示，连接OA，OB，
    ∵OA=OB=AB=2，
    ∴△AOB为等边三角形，过点O作OE⊥AB于点E，
    ∴OE=OA•sin60°=．

    （2）①如图4，当折叠后的与所在圆外切于点P时，
    过点O作EF⊥AB交AB于点H、交于点E，交CD于点G、交于点F，
    即点E、H、P、O、G、F在直径EF上，
    ∵AB∥CD，
    ∴EF垂直平分AB和CD，
    根据折叠的性质，可知PH=PE，PG=PF，
    又∵EF=4，
    ∴点O到AB、CD的距离之和d为：
    d=PH+PG=PE+PF=（PE+PF）=2，
    ②如图5，当AB与CD不平行时，
    四边形PNOM是平行四边形．证明如下：
    设折叠后的所在圆的圆心为O′，折叠后的所在圆的圆心为O″，
    ∵点O′与点O关于AB对称，点O″与点O关于CD对称，
    ∴O′M=OM，ON=O″N，
    ∴点M为的OO′中点，点N为OO″的中点
    ∵折叠后的与所在圆外切，
    ∴连心线O′O″必过切点P，
    ∵折叠后的与所在圆与⊙O是等圆，
    ∴O′P=O″P=2，
    ∴PM=OO″=ON，
    同理：PN=OM，
    ∴四边形OMPN是平行四边形．
    点评：综合考查了相切两圆的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，翻折变换（折叠问题），解直角三角形，综合性较强，难度较大．
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    所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度；
         ②如图2，当折叠后的
    AB
    经过圆心为O时，求
    AOB
    的长度；
         ③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；
    （2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．
    ①如图4，当AB∥CD，折叠后的
    AB
    与
    CD
    所在圆外切于点P时，设点O到弦AB、CD的距离之和为d，求d的值；
    ②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的
    AB
    与
    CD
    所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．

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    经过圆心O时，求
    AB
    的长；
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    AB
    所在圆的圆心O′到弦AB的距离；
    （3）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．
    ①如图4，当AB∥CD，折叠后的
    CD
    与
    AB
    所在圆外切于点P时，设点O到弦AB、CD的距离之和为d，求d的值；
    ②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的
    CD
    与
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    ②如图2，当折叠后的经过圆心为O时，求的长度；
    ③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；
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    ①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB．CD的距离之和为d，求d的值；
    ②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．

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    科目：初中数学 来源：2012年初中毕业升学考试（江西卷）数学（解析版） 题型：解答题

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