Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，若AD：AB=2：5，AB=BC，CD=8时，求梯形的周长及∠B的正弦值．

Answer 1

解：过A作AE⊥BC于E，
则∠AEB=∠AEC=90°．
因为AD：AB=2：5，AB=BC，
所以设AD=2k，AB=BC=5k（k＞0）．
因为梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，
所以∠C=180°-∠D=90°．
所以∠D=∠C=∠AEC=90°．
所以四边形AECD是矩形．
所以AE=CD=8，AD=CE=2k．
所以BE=BC-CE=3k，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：（5k）²-（3k）²=64
解得：k=2．
所以AD=4，AB=BC=10，sinB==．
答：梯形ABCD的周长为32，∠B正弦值为．
分析：由AD=AB，∠A=90°可得BD的长，又AD∥BC，可得△BCD为等腰直角三角形，进而可求解周长及∠B的正弦值．
点评：本题考查了梯形的性质及勾股定理的知识，掌握直角梯形的性质，会在直角梯形中求解一些简单的计算问题．