Question

如图，正方形ABCD中，E，F分别为AD，DC的中点，BF，CE相交于点M，
求证：AM=AB．

Answer 1

证明：分别延长BA，CE交于N点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=CD，∠D=∠BCF=90°，AB∥CD，
∵E是AD中点，F是CD中点，
∴DE=CF，
在△BCF和△CDE中，
，
∴△BCF≌△CDE（SAS），
∴∠CBF=∠DCE，
∴∠CBF+∠BCM=∠DCE+∠BCM=90°，
∵E是AD的中点，AN∥CD，
∴AE=DE，∠N=∠ECD，∠NAE=∠CDE，
在△ANE和△DCE中，
，
∴△ANE≌△DCE（AAS），
∴AN=CD，
∴AN=AB，
在Rt△BMN中，AM=BN，
∴AM=AB．
分析：首先分别延长BA，CE交于N点，由正方形ABCD中，E，F分别为AD，DC的中点，易证得△BCF≌△CDE，可得BF⊥CE，又可证得△ANE≌△DCE，即可得AN=AB，然后由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，证得AM=AB．
点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．