Question

如图，已知正方形ABCD，将一个45度角∝的顶点放在D点并绕D点旋转，角的两边分别交AB边和BC边于点E和F，连接EF．求证：EF＝AE＋CF

(1)小明是这样思考的：延长BC到G，使得CG＝AE，连接DG，先证△DAE≌△DCG，再证△DEF≌△DGF，请你借助下图，按照小明的思路，写出完整的证明思路．

(2)刘老师看到这条题目后，问了小明两个小问题：①如果正方形的边长和△BEF的面积都等于6，求EF的长②将角∝绕D点继续旋转，使得角∝的两边分别和AB边延长线、BC边的延长线交于E和F，如图所示，猜想EF、AE、CF三线段之间的数量关系并给予证明．请你帮忙解决．

Answer 1

答案：
解析：

(1)略 　　(2)①设EF＝x 　　由(1)知四边形DEBG的面积＝正方形ABCD的面积＝36，又三角形BEF的面积是6，所以四边形DEFG的面积为30，因为△DAE≌△DCG，EF＝FG＝x，所以三角形DFG的面积为15，所以1/2·6x＝15 　　解得x＝5，所以EF＝5 　　②如图，延长CF到点G，使得CG＝AE，连接DG，易证△DAE≌△DCG所以∠CDG＝∠ADE，∵∠ADE＋∠CDE＝90度，∴∠CDG＋∠CDE＝90度，∵∠EDF＝45度，∴∠GDF＝45度，易证△DFE≌△DFG，∴FE＝FG，∴CG－CF＝FG＝EF 　　∴EF＝AE－CF