Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD﹣DO﹣OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．

（1）求点N落在BD上时t的值；

（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；

（3）当点P在折线AD﹣DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；

（4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．

Answer 1

解：（1）当点N落在BD上时，如图1．

∵四边形PQMN是正方形，

∴PN∥QM，PN=PQ=t．

∴△DPN∽△DQB．

∴．

∵PN=PQ=PA=t，DP=3﹣t，QB=AB=4，

∴．

∴t=．

∴当t=时，点N落在BD上．

 

（2）①如图2，

则有QM=QP=t，MB=4﹣t．

∵四边形PQMN是正方形，

∴MN∥DQ．

∵点O是DB的中点，

∴QM=BM．

∴t=4﹣t．

∴t=2．

②如图3，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=90°．

∵AB=4，AD=3，

∴DB=5．

∵点O是DB的中点，

∴DO=．

∴1×t=AD+DO=3+．

∴t=．

∴当点O在正方形PQMN内部时，t的范围是2＜t＜．

 

（3）①当0＜t≤时，如图4．

S=S_{正方形PQMN}=PQ²=PA²=t²．

②当＜t≤3时，如图5，

∵tan∠ADB==，

∴=．

∴PG=4﹣t．

∴GN=PN﹣PG=t﹣（4﹣t）=﹣4．

∵tan∠NFG=tan∠ADB=，

∴．

∴NF=GN=（﹣4）=t﹣3．

∴S=S_{正方形PQMN}﹣S_△GNF

=t²﹣×（﹣4）×（t﹣3）

=﹣t²+7t﹣6．

③当3＜t≤时，如图6，

∵四边形PQMN是正方形，四边形ABCD是矩形．

∴∠PQM=∠DAB=90°．

∴PQ∥AD．

∴△BQP∽△BAD．

∴==．

∵BP=8﹣t，BD=5，BA=4，AD=3，

∴．

∴BQ=，PQ=．

∴QM=PQ=．

∴BM=BQ﹣QM=．

∵tan∠ABD=，

∴FM=BM=．

∴S=S_梯形PQMF=（PQ+FM）•QM

=[+]•

=（8﹣t）²

=t²﹣t+．

综上所述：当0＜t≤时，S=t²．

当＜t≤3时，S=﹣t²+7t﹣6．

当3＜t≤时，S=t²﹣t+．

 

（4）设直线DN与BC交于点E，

∵直线DN平分△BCD面积，

∴BE=CE=．

①点P在AD上，过点E作EH∥PN交AD于点H，如图7，

则有△DPN∽△DHE．

∴．

∵PN=PA=t，DP=3﹣t，DH=CE=，EH=AB=4，

∴．

解得；t=．

②点P在DO上，连接OE，如图8，

则有OE=2，OE∥DC∥AB∥PN．

∴△DPN∽△DOE．

∴．

∵DP=t﹣3，DO=，OE=2，

∴PN=（t﹣3）．

∵PQ=（8﹣t），PN=PQ，

∴（t﹣3）=（8﹣t）．

解得：t=．

③点P在OC上，设DE与OC交于点S，连接OE，交PQ于点R，如图9，

则有OE=2，OE∥DC．

∴△DSC∽△ESO．

∴．

∴SC=2SO．

∵OC=，

∴SO==．

∵PN∥AB∥DC∥OE，

∴△SPN∽△SOE．

∴．

∵SP=3++﹣t=，SO=，OE=2，

∴PN=．

∵PR∥MN∥BC，

∴△ORP∽△OEC．

∴．

∵OP=t﹣，OC=，EC=，

∴PR=．

∵QR=BE=，

∴PQ=PR+QR=．

∵PN=PQ，

∴=．

解得：t=．

综上所述：当直线DN平分△BCD面积时，t的值为、、．