Question

9．如图，已知⊙O 中，AB为直径，CD为⊙O的切线，交AB的延长线于点D，∠D=30°．
（1）求∠A的度数；
（2）若点F在⊙O上，CF⊥AB，垂足为E，CF=4$\sqrt{3}$，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

分析 （1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCD=90°，则利用互余可计算出∠DOC=60°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可求出∠A的度数；
（2）根据垂径定理得到CE=$\frac{1}{2}$CF=2$\sqrt{3}$，再在Rt△OCE中利用解直角三角形求出OE、OC的长，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积=S_扇形BOC-S_△OCE进行计算即可．

解答 解：（1）连接OC，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠DOC=90°-∠D=90°-30°=60°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
而∠DOC=∠A+∠OCA，
∴∠A=$\frac{1}{2}∠$DOC=30°；
（2）∵CF⊥AB，
∴CE=EF=$\frac{1}{2}$CF=2$\sqrt{3}$，
在Rt△OCE中，∵tan∠OCE=$\frac{CE}{OE}$=tan60°，
∴OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CE=2，
∴OC+2OE=4，
∴图中阴影部分的面积=S_扇形BOC-S_△OCE=$\frac{60•π•{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2×$2\sqrt{3}$=$\frac{8}{3}$π-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和扇形的面积公式．