Question

已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．
（1）求∠EBC的度数；
（2）若BE=，求弧AE的长；
（3）求证：BD=CD．

Answer 1

（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠ABE=45°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=67.5°．
∴∠EBC=22.5°；

（2）解：∵∠BAC=∠ABE=45°，
∴AE=BE=2，
∵∠AEB=90°，
∴AB=4，则半径r=2，
∴弧AE的长为：=；

（3）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BD=CD．
分析：（1）∠EBC的度数等于∠ABC-∠ABE，因而求∠EBC的度数就可以转化为求∠ABC和∠ABE，根据等腰三角形的性质等边对等角，就可以求出；
（2）先由∠BAC=∠ABE=45°，得出AE=BE，再由勾股定理求出斜边AB，得到半径，然后根据弧长公式即可求解；
（3）在等腰三角形ABC中，根据三线合一定理即可证得．
点评：本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理的综合运用，难度适中．