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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，在直角坐标系中如图摆放，点A的坐标为（0，2精英家教网），点B的坐标为（6，0）．
    （1）直接写出线段AB的中点P的坐标为
     
    ；
    （2）求直线OC的解析式；
    （3）动点M、N分别从O点出发，点M沿射线OC以每秒
    		2
    个单位长度的速度运动，点N沿线段OB以每秒1个长度的速度向终点B运动，当N点运动到B点时，M、N同时停止运动，设△PMN的面积为S（S≠0）运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．
    分析：（1）由于点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（6，0），而P是线段AB的中点，由此即可确定P的坐标；
    （2）如图，过点C作CE⊥OB，CD⊥OA，由此得到∠ADC=∠CEB=∠DCE=90°，接着得到∠ACD+∠ACE=90°，然后利用
    等腰三角形的直线可以构造确定条件证明△ACD≌△BCE，从而得到CE=CD，进一步得到点C在第一象限的角平分线上，由此即可求出直线OC的解析式；
    （3）如图，①当点M在点P左侧时，过点P作PF⊥OB，由题意可知OM=
    		2
    t，ON=t，然后根据已知条件可以分别把线段 MN、NF等线段用t表示，然后就可以求出函数解析式；
     ②当点M在点P右侧时，过点P作PG⊥OB，方法和①一样可以求出函数解析式解决问题．
    解答：解：（1）P（3，1）；

    （2）过点C作CE⊥OB，CD⊥OA
    ∴∠ADC=∠CEB=∠DCE=90°精英家教网∴∠ACD+∠ACE=90°
    在等腰Rt△ABC中
    AC=BC，∠ACB=90°
    ∴∠BCE+∠ACE=90°（3分）
    ∴∠ACD=∠BCE
    ∴△ACD≌△BCE
    ∴CE=CD
    ∴点C在第一象限的角平分线上（4分）
    ∴直线OC的解析式为y=x；

    （3）①当点M在点P左侧时
    过点P作PF⊥OB
    由题意可知
    OM=
    		2
    tON=t（5分）
    ∵点M在函数y=x上精英家教网
    ∴M（t，t）
    ∵N（t，0）
    ∴MN⊥x轴
    ∴MN=t
    ∵点P（3，1）（6分）
    ∴PF=1，OF=3
    ∴NF=OF-ON=3-t；
    ∴S=S梯形PMNF-S△PFN=
    (PF+MN)•NF
    2
    -
    PF•NF
    2
    =-
    t2
    2
    +
    3
    2
    t    ；
     ②当点M在点P右侧时
    过点P作PG⊥OB
    由①可知（8分）
    ∴MN⊥x轴
    ∴MN=t
    ∵点P（3，1）（9分）精英家教网
    ∴PG=1，OG=3
    ∴NG=ON-OG=t-3
    ∴S=S梯形PMNG-S△PGN（10分）
    S=
    (PG+MN)•NG
    2
    -
    PG•NG
    2
    =
    (1+t)(t-3)
    2
    -
    t-3
    2
    =
    t(t-3)
    2

    =
    t2
    2
    -
    3t
    2
    （3＜t≤6）（11分）
    综上，S=-
    -
    t2
    2
    +
    3t
    2
    (0＜t＜3)
    t2
    2
    -
    3t
    2
    (3＜t≤6)
    ．
    点评：此题是一次函数的综合题，首先根据中点的性质确定点的坐标，然后利用待定系数法和等腰直角三角形的性质确定函数的解析式，最后采取割补法利用面积公式解决问题．
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    		2
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    ．

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    ．

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