Question

（2004•呼和浩特）如图，MN切⊙O于P，AB是⊙O的弦，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，PQ⊥AB于Q．
求证：PQ²=AM•BN．

Answer 1

分析：连接AP，BP欲证题中结论，只需证

PQ

AM

=

BN

PQ

，而要证此式，必须借助于第三个比即中间比．由△PAM∽△BPQ可得

PQ

AM

=

PB

PA

，再由△PBN∽△APQ可得

PB

PA

=

BN

PQ

，进而证明PQ²=AM•BN．

解答：证明：连接AP，BP，
∵AM⊥MN于M，PQ⊥AB于Q．
∴∠AMP=∠PQB=90°，
∵∠1=∠2，
∴△PAM∽△BPQ，
∴

PQ

AM

=

PB

PA

，
同理可得：

PB

PA

=

BN

PQ

，
∴

PQ

AM

=

BN

PQ

，
∴PQ²=AM•BN．

点评：本题考查了和圆有关的比例线段的证明题，可由所要证的比例式找到相似三角形；当要证明的比例式不能直接应用有关定理和相似三角形来证明时，可以考虑等量代换．等量代换通常有等线段代换、等比代换等．