Question

在正方形ABCD中，将一块直角三角板的直角顶点放在对角线AC的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交线段AB、BC于D′、E两点．如图1是旋转三角板后所得到图形中的1种情况．
（1）三角板绕点P旋转，观察线段PF和PE之间有什么数量关系？并结合如图1加以证明；
（2）若将三角板的直角顶点放在对角线AC上的M处，且AM：MC=2：5，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合如图2加以证明．

Answer 1

解：（1）连接PB．
∵四边形ABCD是正方形，P是AC的中点，
∴CP=PB，BP⊥AC，∠ABP=∠ABC=45°，
即∠ABP=∠ACB=45°，
又∵∠FPB+∠BPE=∠BPE+∠CPE=90°，
∴∠FPB=∠CPE，即△PBF≌△PCE，
∴PD′=PE；

（2）MD：ME=2：5．
过点M作MF⊥AB，MH⊥BC，垂足分别是F、H，
则MH∥AB，MF∥BC，即四边形BFMH是平行四边形．
∵∠B=90°，
∴?BFMH是矩形，
即∠FMH=90°，MF=BH，
∵BH：HC=AM：MC=2：5，而HC=MH，
∴=2：5，
∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，
∴∠DMF=∠EMH．因为∠FD=∠MHE=90°，
∴△MDF∽△MHE，
∴==2：5．
分析：（1）根据题意，已知△PBD≌△PCE，所以PD=PE．
（2）根据已知条件，易证四边形FMHB是矩形，进一步可以证得△MDF∽△MHE，所以==2：5．
点评：本题主要考查了三角形的相似的判定和性质，题目典型，是一个大综合题，难度较大．