Question

圆的滚动问题探索：
（1）如图1，一个半径为r的圆沿直线方向从A地滚动到B地，若AB的长为m，则该圆在滚动过程中自转了______圈．（用含的式子表示）
试验：
现有两个半径相等的圆（如图5），将⊙O₂固定，⊙O₁沿定圆的周围滚动，滚动时两圆保持相外切的位置关系．当⊙O₁沿⊙O₂周围滚动一周回到原来的位置时，⊙O₁自转了2圈，而⊙O₁的圆心运动的线路也是一个圆，而这个圆的周长恰好是⊙O₁的周长的2倍．
（2）如图2，⊙O₁的半径为r，⊙O₂的半径为R（R＞r），现将⊙O₂固定，让，⊙O₁沿⊙O₂的周围滚动，滚动时两圆保持相外切的位置关系．当⊙O₁沿⊙O₂沿周围滚动一周回到原来的位置时，⊙O₁自转了______圈；

（3）如图3，⊙O₁，和⊙O₂内切，⊙O₁的半径为r，⊙O₂的半径为R（R＞r），现将⊙O₂固定，让，⊙O₁沿⊙O₂的边缘滚动，动时两圆保持相内切的位置关系．当⊙O₁沿⊙O₂边缘滚动一圈回到原来的位置时，⊙O₁自转了______圈．
解决问题：
如图4，一个等边三角形与它的一边相切的圆的周长相等，当此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了多少圈？请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图1，一个半径为r的圆沿直线方向从A地滚动到B地，若AB的长为m，
则该圆在滚动过程中自转了：（圈）；
故答案为：；

（2）∵让⊙O₁沿⊙O₂的周围滚动，滚动时两圆保持相外切的位置关系，⊙O₁沿⊙O₂沿周围滚动一周回到原来的位置，
∴⊙O₁滚动的路程为：2π（r+R），
∴⊙O₁自转了=（圈）；
故答案为：；

（3）∵让⊙O₁沿⊙O₂的边缘滚动，动时两圆保持相内切的位置关系，⊙O₁沿⊙O₂沿周围滚动一周回到原来的位置，
∴⊙O₁滚动的路程为：2π（R-r），
∴⊙O₁自转了=（圈）；
故答案为：；

解决问题：4圈；
理由：由圆在AB、BC、CA三边作无滑动滚动时，
∵等边三角形的边长与和圆的周长相等，
∴圆转了3圈，
而圆从一边转到另一边时，圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数，
圆心要绕其三角形的顶点旋转120°，
∴圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，
∴此圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，直至回到原来的位置时，该圆自转了4圈．
分析：（1）利用圆运动的距离除以圆的周长即可得出答案；
（2）利用⊙O₁运动的距离除以⊙O₁的周长即可得出答案；
（3）利用⊙O₁运动的距离除以⊙O₁的周长即可得出答案；
解决问题：根据直线与圆相切的性质得到圆从一边转到另一边时，圆心要绕其三角形的顶点旋转120°，则圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，再加上在三边作无滑动滚动时要转三圈，这样得到它回到原出发位置时共转了4圈．
点评：此题主要考查了圆的综合应用，利用圆运动的距离除以圆的周长得出是解题关键．