Question

阅读材料：

求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³的值．

解：设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹²+2²⁰¹³，将等式两边同时乘以2得：

   2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2²⁰¹³+2²⁰¹⁴

   将下式减去上式得2S﹣S=2²⁰¹⁴﹣1

   即S=2²⁰¹⁴﹣1

   即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³=2²⁰¹⁴﹣1

请你仿照此法计算：

（1）1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰

（2）1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ（其中n为正整数）．

Answer 1

 解：（1）设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰，

将等式两边同时乘以2得2S=2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰+2¹¹，

将下式减去上式得：2S﹣S=2¹¹﹣1，即S=2¹¹﹣1，

则1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰=2¹¹﹣1；…………………………1分

（2）设S=1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ，

两边乘以3得：3S=3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ+3ⁿ⁺¹，

下式减去上式得：3S﹣S=3ⁿ⁺¹﹣1，∴2S=3ⁿ⁺¹﹣1

即S=(3ⁿ⁺¹﹣1)，

则1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ=（3ⁿ⁺¹﹣1）．…………………………2分