Question

（2013•闸北区二模）已知：如图，在⊙O中，M是弧AB的中点，过点M的弦MN交弦AB于点C，设⊙O半径为4cm，MN=4

3

cm，OH⊥MN，垂足是点H．
（1）求OH的长度；
（2）求∠ACM的度数．

Answer 1

分析：（1）连接MO交弦AB于点E，由OH⊥MN，O是圆心，根据垂径定理得到MH等于MN的一半，然后在直角三角形MOH中利用勾股定理即可求出OH；
（2）由M是弧AB的中点，MO是半径，根据垂径定理得到OM垂直AB，在直角三角形OHM中，根据一条直角边等于斜边的一半，那么这条这条直角边所对的角为30度，即角OMH等于30度，最后利用三角形的内角和定理即可求出角ACM的度数．

解答：解：连接MO交弦AB于点E，
（1）∵OH⊥MN，O是圆心，
∴MH=

1

2

MN，
又∵MN=4

3

cm，
∴MH=2

3

cm，
在Rt△MOH中，OM=4cm，
∴OH=

OM2-MH2

=

42-(2 3 )2

=2（cm）；

（2）∵M是弧AB的中点，MO是半径，
∴MO⊥AB           
∵在Rt△MOH中，OM=4cm，OH=2cm，
∴OH=

1

2

MO，
∴∠OMH=30°，
∴在Rt△MEC中，∠ACM=90°-30°=60°．

点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，以及含30°角的直角三角形，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．