Question

20．关于x的一元二次方程（m+1）x²+mx+$\frac{1}{4}$m=0．
（1）若原方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若原方程的一个根是-1，求此时m的值及方程的另外一个根．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m+1≠0且△=m²-4（m+1）•$\frac{1}{4}$m＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可；
（2）根据一元二次方程的定义，把x=-1代入方程可求出m的值，然后利用因式分解法解方程可得到方程的另外一个根．

解答 解：（1）根据题意得m+1≠0且△=m²-4（m+1）•$\frac{1}{4}$m＞0，
解得m＜0且m≠-1；
（2）把x=-1代入方程得m+1-m+$\frac{1}{4}$m=0，解得m=-4，
方程变形为-3x²-4x-1=0，即3x²+4x+1=0，解得x₁=-$\frac{1}{3}$，x₂=-1，
所以方程的另外一个根为-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．