Question

10．如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，E是BC上任意一点，EF⊥AB于点F．求证：AC²=AD•AF+CD•EF．

Answer 1

分析 根据垂直的定义得到∠ACB=∠ADC=90°，推出△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质得到$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，同时代的AC²AD•AB，由于AB=AF+FB，等量代换得AC²=AD•（AF+FB）=AD•AF+AD•FB 通过△ACD∽△BEF，根据形式是三角形的性质得到$\frac{AD}{CD}=\frac{EF}{FB}$，于是得到AD•FB=CD•EF，即可得到结论．

解答 证明：∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$，
∴AC²AD•AB，
∵AB=AF+FB，
∴AC²=AD•（AF+FB）=AD•AF+AD•FB，
∵EF⊥AB于点F，
∴∠ADC=∠EFB=90°，
∴∠A+∠ACD=∠A+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△BEF，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{EF}{FB}$，
∴AD•FB=CD•EF，
∴AC²=AD•AF+AD•FB=AD•AF+CD•FB．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，余角的性质，证得△ACD∽△BEF是解题的关键．