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    （1）如图①，将边长为1的等边三角形纸片（即△OAB）沿直线l1向右滚动（不滑动），三角形纸片经过两次滚动，点O运动到了点O2处；则顶点O经过的路线长
    4
    3
    π
    4
    3
    π
    ；
    （2）类比研究：如图②，将边长为1的正方形纸片OABC沿直线l2向右滚动（不滑动），OA边与直线l2重合，将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，…，按上述方法经过若干次旋转后，请解决如下问题：
    问题①若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路线长，并求顶点O运动的路径与直线l2围成图形的面积；
    ②若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路线长
    3+
    		2
    2
    π
    3+
    		2
    2
    π
    ；
    ③正方形纸片OABC按上述方法经过2010次旋转，顶点O经过的路程是
    603π+201
    		2
    π
    603π+201
    		2
    π
    ．
    分析：（1）根据等边三角形的每一个外角都是120°可知，点O一次旋转所经过的路线是以边长为半径，120°为圆心角的扇形，然后根据弧长公式进行计算即可求解；
    （2）为了便于标注字母，且更清晰的观察，每次旋转后向右稍微平移一点，作出前几次旋转后的图形，点O的第1次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形，第2次旋转路线是以正方形的对角线长为半径，以90°圆心角的扇形，第3次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形；
    ①根据弧长公式与扇形的面积计算公式分别进行计算，然后相加即可；
    ②根据弧长公式列式进行计算即可得解；
    ③求出2010次旋转中有几个5次，然后根据②的结论进行计算即可求解．
    解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，
    ∴∠OAO1=120°，
    ∴顶点O滚动1次经过的路线长为
    120•π•1
    180
    =
    2
    3
    π，
    ∴两次滚动后点O经过的路线长为：2×
    2
    3
    π=
    4
    3
    π；

    （2）如图2，为了便于标注字母，且位置更清晰，每次旋转后不防向右移动一点，
    第1次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形，
    路线长为
    90•π•1
    180
    =
    1
    2
    π，
    面积为
    90•π•12
    360
    =
    1
    4
    π，
    第2次旋转路线是以正方形的对角线长
    		2
    为半径，以90°圆心角的扇形，
    路线长为
    90•π•
    		2
    180
    =
    		2
    2
    π，
    面积为
    90•π•
    		2
    2
    360
    =
    1
    2
    π，
    第3次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形，
    路线长为
    90•π•1
    180
    =
    1
    2
    π，
    面积为
    90•π•12
    360
    =
    1
    4
    π，
    ①经过3次旋转，顶点O运动的路径为
    1
    2
    π+
    		2
    2
    π+
    1
    2
    π=
    2+
    		2
    2
    π，
    与直线l2围成图形的面积为
    1
    4
    π+
    1
    2
    π+
    1
    4
    π=π；
    ②第4次旋转点O没有移动，旋转后于最初正方形的放置相同，
    因此5次旋转，顶点O经过的路线长为
    1
    2
    π+
    		2
    2
    π+
    1
    2
    π+0+
    1
    2
    π=
    3+
    		2
    2
    π；
    ③∵2010÷5=402，
    ∴经过2010次旋转，顶点O经过的路程是5次旋转路程的402倍，
    3+
    		2
    2
    π×402=603π+201
    		2
    π．
    故答案为：（1）
    4
    3
    π；（2）
    3+
    		2
    2
    π，603π+201
    		2
    π．
    点评：本题考查了旋转变换的性质，等边三角形与正方形的性质，读懂题意，并根据题意作出图形更形象直观，且有利于旋转变换规律的发现．
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    4
    		3
    3
    cm2，则这个旋转角度为
     
    度．
    如图2，将上述两个互相重合的正方形纸片沿对角线AC翻折成等腰直角三角形后，再抽出其中一个等腰直角三角形沿AC移动，若重叠部分△A′PC的面积是1cm2，则它移动的距离AA′等于
     
    cm．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动．
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    当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如精英家教网下一个正确结论（或结果）：
    甲：△AEF的边AE=
     
    cm，EF=
     
    cm；
    乙：△FDM的周长为16cm；
    丙：EG=BF．
    你的任务：
    （1）填充甲同学所得结果中的数据；
    （2）写出在乙同学所得结果的求解过程；
    （3）当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时：
    ①试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论；
    ②丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG=BF，再求出S（S为四边形AEGD的面积）与x（AF=x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

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    （Ⅰ）该正方形的边长为
    		10
    		10
    （结果保留根号）．
    （Ⅱ）现要求只能用两条裁剪线，请你设计一种裁剪的方法，在图中画出裁剪线，并简要说明拼接的过程．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，若将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为
    1-
    		3
    3
    1-
    		3
    3
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，若将边长为3和2的两小正方形纸板剪拼成一个大正方形，则该大正方形的边长为
    		13
    		13
    ．

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