Question

如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO=60度．
（1）若△AOB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标．
（2）若点C的坐标为（-1，0），试猜想过D，C的直线与△AOB的外接圆的位置关系，并加以说明．
（3）二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上，求此函数的解析式．

Answer 1

（1）连接AD，则∠ADO=∠B=60°，
在Rt△ADO中，∠ADO=60°，
所以OD=OA÷

3

=3÷

3

=

3

，
所以D点的坐标是（0，

3

）；

（2）猜想：CD与圆相切，
∵∠AOD是直角，
∴AD是圆的直径，
又∵tan∠CDO=

CO

DO

=

1

3

=

3

3

，∠CDO=30°，
∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=90°，即CD⊥AD，
∴CD切外接圆于点D；

（3）依题意可设二次函数的解析式为：
y=α（x-0）（x-3），
由此得顶点坐标的横坐标为：x=

3a

2a

=

3

2

；
即顶点在OA的垂直平分线上，作OA的垂直平分线EF，
则得∠EFA=

1

2

∠B=30°，
即得到EF=

3

EA=

3

2

3

可得一个顶点坐标为（

3

2

，

3

2

3

），
同理可得另一个顶点坐标为（

3

2

，-

1

2

3

），
分别将两顶点代入y=α（x-0）（x-3）
可解得α的值分别为-

2 3

3

，

2 3

9

，
则得到二次函数的解析式是y=-

2 3

3

x（x-3）或y=

2 3

9

x（x-3）．