Question

（2005•海淀区）如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．
（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．
（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不会变化．根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可判断；
（2）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时，△AOB的面积最大，就可以求出．
解答：解：（1）不变．
理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变；

（2）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时，△AOB为等腰直角三角形时，面积最大，理由为：
证明：如图，若h与OP不相等，则总有h＜OP，
故根据三角形面积公式，有h与OP相等时△AOB的面积最大，
此时，S_△AOB=．
所以△AOB的最大面积为a²．
点评：此题利用了在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；同时理解△AOB的面积什么情况最大是解决本题的关键．