Question

19．如图△EDB由△ABC绕点B逆时针旋转而来，D点落在AC上，DE交AB于点F，若AB=AC，DB=BF，则AF与BF的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 先利用旋转的性质得BC=BD，∠C=∠EDB，∠A=∠E，∠CBD=∠ABE，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和证明∠ABD=∠A，则BD=AD，然后证明△BDC∽△ABC，则利用相似比得到BC：AB=CD：BC，即BF：（AF+BF）=AF：BF，最后利用解方程求出AF与BF的比值．

解答 解：∵△EDB由△ABC绕点B逆时针旋转而来，D点落在AC上，
∴BC=BD，∠C=∠EDB，∠A=∠E，∠CBD=∠ABE，
∵∠ABE=∠ADF，
∴∠CBD=∠ADF，
∵DB=BF，
∴BF=BD=BC，
而∠C=∠EDB，
∴∠CBD=∠ABD，
∴∠ABC=∠C=2∠ABD，
∵∠BDC=∠A+∠ABD，
∴∠ABD=∠A，
∴BD=AD，
∴CD=AF，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∴△BDC∽△ABC，
∴BC：AB=CD：BC，即BF：（AF+BF）=AF：BF，
整理得AF²+BF•AF-BF²=0，
∴AF=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$BF，
即AF与BF的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．