Question

已知⊙O₁与⊙O₂相切于点P，它们的半径分别为R、r．一直线绕P点旋转，与⊙O₁、⊙O₂分别交于点A、B（点P、B不重合），探索规律：
（1）如图1，当⊙O₁与⊙O₂外切时，探求

PA

PB

与半径R、r之间的关系式，请证明你的结论；
（2）如图2，当⊙O₁与⊙O₂内切时，第（1）题探求的结论是否成立？为什么？

Answer 1

分析：要求

PA

PB

与半径R、r之间的关系式，证明△O₁AP∽△O₂BP是关键，注意两圆的位置关系．

解答：解：（1）当⊙O₁与⊙O₂外切时，

PA

PB

=

R

r

（3分）
证明：连接O₁A，O₂B
∵两圆外切，
∴O₁、P、O₂三点共线
∵△O₁AP和△O₂BP是等腰三角形，∠O₁PA=∠BPO₂，
∴∠O₁AP=∠O₂BP
∴△O₁AP∽△O₂BP
∴

PA

PB

=

R

r

；（4分）

（2）当⊙O₁与⊙O₂内切时，

PA

PB

=

R

r

仍然成立（2分）
证明：连接O₁A，O₂B，同理可证△PO₁A∽△PO₂B，
∴

PA

PB

=

R

r

仍然成立．（3分）
（注：能指出当动直线AB经过两圆的圆心时，PA=2R，PB=2r，∴

PA

PB

=

R

r

，奖励1分．）

点评：本题考查了两圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，是一个探究性的题目．