Question

5．能使平行四边形ABCD为正方形的条件是AC=BD且AC⊥BD或AB=BC且AB⊥BC等．（填一个即可）

Answer 1

分析 本题是开放题，可以针对正方形的判定方法，由给出条件四边形ABCD为平行四边形，加上条件AC=BD根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到ABCD为矩形，再加上对角线AC与BD垂直，根据对角线垂直的矩形是正方形即可得证；或加上邻边AB与BC相等，根据邻边相等的平行四边形是菱形，得到ABCD为菱形，再加上AB垂直BC，即有一个角是直角的菱形为正方形，即可得证．

解答 解：如图所示：
添加的条件是AC=BD且AC⊥BD，或AB=BC且AB⊥BC，平行四边形ABCD为正方形；理由如下：
添加的条件时AC=BD且AC⊥BD时；
∵四边形ABCD是平行四边形．又AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是正方形；
添加的条件是AB=BC且AB⊥BC时；
∵四边形ABCD是平行四边形．AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵AB⊥BC，即∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
故答案为：AC=BD且AC⊥BD或AB=BC且AB⊥BC．

点评 本题是一道开放型题目，主要考查矩形、菱形及正方形的判定；熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．