Question

如图①△A′B′C是将等腰直角三角形△ABC绕直角顶点C旋转得到的，AB与CB′、A′B′分别交于F、E，AC与A′B′交于D．
（1）求证：CF=CD；
（2）如图②，当旋转多少度时，四边形A′CBE是菱形？请证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵△A′B′C是将等腰直角三角形△ABC绕直角顶点C旋转得到的，
∴∠B=∠A=∠B′=∠A′=45°，BC=AC=A′C，∠BCB′=∠ACA′，
在△BCF和△A′CD中，
，
∴△BCF≌△A′CD，
∴CF=CD；

（2）当旋转45°时，四边形A′CBE是菱形．
证明：∵∠ACA′=45°，∠A′=45°，
∴∠A′DC=90°，∠A′CB=90°+45°=135°，
∵∠ACB=90°，∠B=45°，
∴∠A′DC=∠ACB，∠A′CB+∠B=180°，
∴A′E∥BC，BE∥A′C，
∴四边形A′CBE是平行四边形，
∵BC=A′C，
∴四边形A′CBE是菱形．
分析：（1）由△A′B′C是将等腰直角三角形△ABC绕直角顶点C旋转得到的，易证得△BCF≌△A′CD，则可得CF=CD；
（2）由∠ACA′=45°，∠A′=45°，易证得A′E∥BC，BE∥A′C，即可得四边形A′CBE是平行四边形，又由BC=A′C，即可判定四边形A′CBE是菱形．
点评：此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定．此题难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．