Question

如图①，已知平面内一点P与一直线l，如果过点P作直线l′⊥l，垂足为P′，那么垂足P′叫做点P在直线l上的射影；如果线段PQ的两个端点P和Q在直线l上的射影分别为点P′和Q′，那么线段P′Q′叫做线段PQ在直线l上的射影．
（1）如图②，E、F为线段AD外两点，EB⊥AD，FC⊥AD，垂足分别为B、C．
则E点在AD上的射影是

 

点，A点在AD上的射影是

 

点，
线段EF在AD上的射影是

 

，线段AE在AD上的射影是

 

；
（2）根据射影的概念，说明：直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项．（要求：画出图形，写出说理过程．）

Answer 1

分析：（1）由题中所给的射影的概念可直接进行解答；
（2）先根据相似三角形的判定定理得出△ACD∽△CBD，再根据相似三角形的对应边成比例可得出结论．

解答：解：（1）B，A，线段BC，线段AB；（4分）

（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，（图形正确）（6分）
则AC、BC在AB上的射影分别是AD、BD．（8分）
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC，
∵∠B+∠A=90°，∠B+∠DCB=90°，
∴∠A=∠DCB，
∴△ACD∽△CBD，（10分）
∴

AD

CD

=

CD

BD

，
即CD是AC，BC在斜边上射影的比例中项．（12分）

点评：本题考查的是射影的概念及射影定理、相似三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．