Question

19．类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位，用实数加法表示为3+（-2）=1．
若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的“平移量”；“平移量”{a，b}与“平移量”{c，d}的加法运算法则为{a，b}+{c，d}={a+c，b+d}．  解决问题：
（1）动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”{3，1}平移到A，再按照“平移量”{1，2}平移到B；若先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C．再按照“平移量”{3，1}平移，最后的位置还是点B吗？在图①中画出四边形OABC，并求出该四边形的面积；
（2）如图②，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O．请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．

Answer 1

分析 （1）根据题中给出的平移量找出各对应点，描出各点，顺次连接即可．从两次平移量得出点的坐标一样，即可得出结论，最后用面积的和差求解即可；
（2）根据题中的文字叙述列出式子，计算即可．

解答 解：（1）作出如图1所示的图形，
Ⅰ、∵先把动点P按照“平移量”{3，1}平移到A，
∴A（3，1），
∵A再按照“平移量”{1，2}平移到B，
∴{3，1}+{1，2}={3+1，1+2}={4，3}，
∴B（4，3），
Ⅱ、先把动点P按照“平移量”{1，2}平移到C，
∴C（1，2），
∵C再按照“平移量”{3，1}平移
∴{1，2}+{3，1}={1+3，2+1}={4，3}．
∴C再按照“平移量”{3，1}平移到的点坐标为（4，3）与B的坐标相同，
∴最后的位置仍是B．
∵A（3，1），B（4，3），C（1，2），
∴S_{四边形OABC}=3×4-$\frac{1}{2}$×1×2-1×1-$\frac{1}{2}$×1×3-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×1×3-1×1=6．

（2）从O出发，先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可知平移量为{2，3}，
同理得到P到Q的平移量为{3，2}，从Q到O的平移量为{-5，-5}，
故有{2，3}+{3，2}+{-5，-5}={0，0}．

点评 此题几何变换综合题，主要考查了新定义“平移量”和平移量”间的加法运算法则，解本题的关键是理解定义和加法法则的基础上应用它，比较有创新，让学生在做题的同时又学到新知识，是一道考查了学生的阅读能力和理解能力的好题．