Question

一楼梯共有n级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶或3级台阶，设从地面到第n级台阶所有不同的走法为M种．
（1）当n=2时，M=

2

种；
（2）当n=7时，M=

44

种．

Answer 1

分析：（1）先用n表示台阶的级数，a n表示某人走到第n级台阶时，所有可能不同的走法，得出当n=1时，显然只要1种跨法，当n=2时，即可求出M的值；
（2）由（1）可得出当n=3、4…时的不同走法，找出规律，求出当n=7时M的值即可．

解答：解：如果用n表示台阶的级数，a n表示某人走到第n级台阶时，所有可能不同的走法，容易得到：
（1）根据题意得：当n=1时，显然只要1种跨法，即a₁=1．
当n=2时，可以一步一级跨，也可以一步跨二级上楼，
因此，共有2种不同的跨法，即M=2．
（2）由（1）可得：
当n=3时，可以一步一级跨，也可以一步三级跨，还可以第一步跨一级，
第二步跨二级或第一步跨二级，第二步跨一级上楼，
因此，共有4种不同的跨法，即a₃=4．
④当n=4时，分三种情况分别讨论：
如果第一步跨一级台阶，那么还剩下三级台阶，由③可知有a₃=4（种）跨法．
如果第一步跨二级台阶，那么还剩下二级台阶，由②可知有a₂=2（种）跨法．
如果第一步跨三级台阶，那么还剩下一级台阶，由①可知有a₁=1（种）跨法．
根据加法原理，有a₄=a₁+a₂+a₃=1+2+4=7
类推，有a₅=a₂+a₃+a₄=2+4+7=13；
a₆=a₃+a₄+a₅=4+7+13=24；
a₇=a₄+a₅+a₆=7+13+24=44，
即M=44；
故答案为：2，44．

点评：本题考查的是排列组合问题，根据排列组合原理分别求出当n=1、2、3、4…时的不同走法，找出规律是解答此题的关键．