Question

在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+2的图象与x轴交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+2过点A（-3，0），B（1，0），
∴
解得，
∴二次函数的关系解析式为y=-x²-x+2；

（2）存在．
∵如图1所示，设点P坐标为（m，n），则n=-m²-m+2．
连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．
则PM=-m²-m+2，PN=-m，AO=3．
∵当x=0时，y=-×0-×0+2=2，
∴OC=2，
∴S_△PAC=S_△PAO+S_△PCO-S_△ACO
=AO•PM+CO•PN-AO•CO
=×3×（-m²-m+2）+×2×（-m）-×3×2
=-m²-3m
∵a=-1＜0
∴函数S_△PAC=-m²-3m有最大值
∴当m=-=-时，S_△PAC有最大值．
∴n=-m²-m+2=-×（-）²-×（-）+2=，
∴存在点P（-，），使△PAC的面积最大．


（3）如图2所示，以BC为边在两侧作正方形BCQ₁Q₂、正方形BCQ₄Q₃，则点Q₁，Q₂，Q₃，Q₄为符合题意要求的点．过Q₁点作Q₁D⊥y轴于点D，过点Q₂作Q₂E⊥x轴于点E，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
在△Q₁CD与△CBO中，
∵，
∴△Q₁CD≌△CBO，
∴Q₁D=OC=2，CD=OB=1，
∴OD=OC+CD=3，
∴Q₁（2，3）；
同理可得Q₄（-2，1）；
同理可证△CBO≌△BQ₂E，
∴BE=OC=2，Q₂E=OB=1，
∴OE=OB+BE=1+2=3，
∴Q₂（3，1），
同理，Q₃（-1，-1），
∴存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形．Q点坐标为：Q₁（2，3），Q₂（3，1），Q₃（-1，-1），Q₄（-2，1）．
分析：（1）直接把点A（-3，0），B（1，0）代入二次函数y=ax²+bx+2求出a、b的值即可得出抛物线的解析式；
（2）设点P坐标为（m，n），则n=-m²-m+2，连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．根据三角形的面积公式得出△PAC的表达式，再根据二次函数求最大值的方法得出其顶点坐标即可；
（3）以BC为边，在线段BC两侧分别作正方形，正方形的其他四个顶点均可以使得“△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形”，因此有四个点符合题意要求，再过Q₁点作Q₁D⊥y轴于点D，过点Q₂作Q₂E⊥x轴于点E，根据全等三角形的判定定理得出△Q₁CD≌△CBO，△CBO≌△BQ₂E，故可得出各点坐标．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，二次函数极值、全等三角形的判定与性质，正方形及等腰直角三角形的性质等知识，涉及面较广，难度较大．