Question

如图，矩形ABCD，AD=8，DC=6，在对角线AC上取一点O，以OC为半径的圆切AD于E，交BC于F，交CD于G．
（1）求⊙O的半径R；
（2）设∠BFE=α，∠CED=β，请写出α，β，90°三者之间的关系式（只需写出一个）并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）首先根据勾股定理可以求出AC的长度，根据AD是圆的切线，连接OE半径，得出△AOE∽△ACD，这样就可以列出关于半径的方程，解方程即可求出半径；
（2）根据弦切角定理，β等于α的邻补角∠EFC，所以三者关系可以很容易写出．

解答：解：（1）连接OE，则OE⊥AD，
∴△AOE∽△ACD
∴

AO

AC

=

OE

CD

∵矩形ABCD
∴AC=

AD2+DC2

=

82+62

=10
∴

10-R

10

=

R

6

解得R=

15

4

∴⊙O的半径R=

15

4

；

（2）如图，连接CE，
∵AD是圆的切线，
∴β=∠CFE，
∵∠BFE+∠CFE=180°
∴α+β=2×90°=180°．

点评：遇到切线作出过切点的半径是解好本题的突破口，切线的性质是本题考查的重点．熟练掌握勾股定理和矩形的性质对解答本题也很重要．