Question

15．如图，点P是菱形ABCD对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于F．
（1）求证：PA=PC；
（2）若AB=3，DP：BP=1：2，且PA⊥AB，求BP的长．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质得CD=AD，∠CDP=∠ADP，证明△CDP≌△ADP即可；
（2）由菱形的性质得CD∥BA，可证△CPD∽△FPB，利用相似比，结合已知DP：PB=1：2，CD=BA，可证A为BF的中点，又PA⊥BF，从而得出PB=PF，已证PA=CP，把问题转化到Rt△PAB中，由勾股定理，列方程求解即可求出BP的长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴CD=AD，∠CDP=∠ADP，
在△CDP和△ADP中
$\left\{\begin{array}{l}{CD=AD}\\{∠CDP=∠ADP}\\{DP=DP}\end{array}\right.$，
∴△CDP≌△ADP，
∴PA=PC；

（2）解：∵四边形ABCD为菱形，
∴CD∥BA，CD=BA，
∴∠CDP=∠FBP，∠BFP=∠DCP，
∴△CPD∽△FPB，
∴$\frac{DP}{PB}=\frac{CD}{BF}=\frac{CP}{PF}=\frac{1}{2}$，
∴CD=$\frac{1}{2}$BF，CP=$\frac{1}{2}$PF，
∴A为BF的中点，
又∵PA⊥BF，
∴PB=PF，
由（1）可知，PA=CP，
∴PA=$\frac{1}{2}$PB，在Rt△PAB中，
PB²=3²+（$\frac{1}{2}$PB）²，
解得PB=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，菱形的性质及勾股定理的运用．关键是根据菱形的四边相等，对边平行及菱形的轴对称性解题．