Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是射线AB上的一个动点，以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，直线PD交直线BC于点E．
（1）若点D是AC的中点，则⊙P的半径为

 

；
（2）若AP=2，求CE的长；
（3）当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求⊙P的半径；
（4）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，点P在运动的过程中，能否使点D、C、I、P构成一个平行四边形？若能，请求出AP的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）过点P作PF⊥y轴于点F，由锐角三角函数的定义得出tan∠PAF=

PF

AF

=

BC

AC

=

3

4

，再根据垂径定理得出AF的长，根据勾股定理即可得出结论；
（2）由相似三角形的判定定理得出△ABC∽△DEC，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AB的长，再根据锐角三角函数的定义即可得出结论；
（3）设BE的中点为Q，连接PQ，AP=x，根据等腰三角形三线合一的性质得出PQ⊥BE，根据平行线分线段成比例定理得出

PQ

AC

=

PB

AB

=

BQ

BC

，再由切线的性质可得出PQ=BQ，由此可得出结论；
（4）根据点P在线段AB上，点E在线段BC延长线上；点P在线段AB上，点E在线段BC上；点P在线段AB的延长线上三种情况进行分类讨论．

解答：解：（1）过点P作PF⊥y轴于点F，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴tan∠PAF=

PF

AF

=

BC

AC

=

3

4

，
∵点D是AC的中点，
∴AD=2，
∴AF=1，
∴

PF

1

=

3

4

，解得PF=

3

4

，
∴AP=

AF2-PF2

=

12-( 3 4 )2

=

5

4

．
故答案为：

5

4

；

（2）∵AP=DP，
∴∠PAD=∠PDA．
∴∠PAD=∠CDE．
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴△ABC∽△DEC．
∴∠ABC=∠DEC，

BC

CE

=

AB

DE

．
∴PB=PE．
Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∵AC=4，BC=3，
∴AB=5．
∵AP=2，
∴PB=PE=3，DE=1，
∴

3

CE

=

5

1

，CE=

3

5

；

（3）如图2，设BE的中点为Q，连接PQ，AP=x
∵PB=PE，
∴PQ⊥BE，
又∵∠ACB=90°，
∴PQ∥AC，
∴

PQ

AC

=

PB

AB

=

BQ

BC

，
∴

PQ

4

=

5-x

5

=

BQ

3

，
∴PQ=4-

4

5

x，BQ=3-

3

5

x． 
当以BE为直径的圆和⊙P外切时，4-

4

5

x=x+3-

3

5

x．
解得x=

5

6

，即AP的长为

5

6

． 


（4）如果点P在线段AB上，点E在线段BC延长线上时（如图2），由（2）知，△ABC∽△DEC，
∴

AC

DC

=

AB

DE

，
∴

4

DC

=

5

5-2x

，DC=

4

5

（2x-5），当DC=PI时，点D、C、I、P构成一个平行四边形，由DC=PI得，

4

5

（2x-5）=x，x=

20

13

．
如果点P在线段AB上，点E在线段BC上时（如图3），DC=

4

5

（2x-5），当DC=PI时，点D、C、I、P构成一个平行四边形，由DC=PI得，

4

5

（2x-5）=x，x=

20

3

，
∵

20

3

＞5，与点P在线段AB上矛盾，
∴x=

20

3

（舍去）． 
如果（如图4），点E在线段BC的延长线上时，DC=

4

5

（2x-5），当DC=PI时，点D、C、I、P构成一个平行四边形，由DC=PI得，

4

5

（2x-5）=x，x=

20

3

．
综上，AP=

20

13

或AP=

20

3

．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定及平行线分线段成比例定理等知识，难度适中．