Question

如图，在四边形ABCD中，已知△ABC、△BCD、△ACD的面积之比是3：1：4，点E在边AD上，CE交BD于G，设．
（1）求的值；
（2）若点H分线段BE成的两段，且AH²+BH²+DH²=p²，试用含p的代数式表示△ABD三边长的平方和．

Answer 1

略解：（1）不妨设△ABC、△BCD、△ACD的面积分别为3、1、4．
∵，
∴△ABD的面积是6，△BDE的面积是．
∴△CDG的面积是，△CDE的面积为，△DEG的面积是．
由此可得：+=，
即4k²-3k-1=0，
∴k=1．
∴=3．

（2）由（1）知：E、G分别为AD、BD的中点，
又∵点H分线段BE成的两段，
∴点H是△ABD的重心．
而当延长BE到K，使得BE=EK，连接AK、DK后便得到平行四边形ABDK，再利用“平行四边形的四边平方和等于两对角线的平方和”就可得：2（AB²+BD²）=AD²+4BE²，类似地有，其中点M为边AB的中点．
∴3（AB²+BD²+AD²）=4（BE²+DM²+AG²）．
∵，AH²+BH²+DH²=p²，
∴，
∴AB²+BD²+AD²=3p²．
分析：（1）不妨设△ABC、△BCD、△ACD的面积分别为3、1、4．根据等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比，分别用k表示相关一些三角形的面积，从而得到关于k的方程，进行求解；
（2）根据（1）的结论，知E、G分别为AD、BD的中点，结合已知，得点H是△ABD的重心．延长BE到K，使得BE=EK，连接AK、DK，构造平行四边形，根据平行四边形的性质和重心的性质进行分析求解．
点评：此题综合运用了平行四边形的性质和三角形的重心的性质．