Question

20．如图，二次函数y=ax²-2ax-6的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线y=kx+b经过点A、C，且△ABC的面积为30，动点P从点A出发沿射线AB运动，速度为每秒1个单位，过点P、B、C作圆M，设运动时间为t秒．
（1）求a的值及直线AC的解析式；
（2）当圆心M落在该抛物线上时，求t的值；
（3）在点P的整个运动过程中，
①连接MP、MB，若△MPB有一个内角为45°，求t的值；
②若圆M上有一点Q满足BQ=CP，当以点P、Q、M为顶点的三角形是等边三角形时，t的值为（4-2$\sqrt{3}$）s或（4+2$\sqrt{3}$）s或（4+6$\sqrt{3}$）s．（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）利用三角形面积公式求出AB，根据对称轴x=1，推出A．B两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2））△PBC的外接圆的圆心在线段BC的垂直平分线y=-x上，求出直线y=-x与抛物线的交点，即可推出点M坐标，由此即可解决问题．
（3）①分三种情形a、由MP=MB，可知当∠PMB=90°时，∠PBM=45°，此时点M在BC上，点P与点O重合，t=4．b、如图2中，当∠PMB=45°时，设M（m，-m），c、如图3中，当P在B右侧时，∠PMB=45°，分别列出方程解决问题即可．
②分两种情形a、如图4中，设⊙M与y轴的另一个交点为Q，则根据对称性可知PC=BQ，当△PQM是等边三角形时，PQ=PM，设P（m，0），列出方程解决问题；b、∠如图5中，作CQ⊥OC交⊙M于Q，根据对称性可知，BQ=CP．当△PMQ是等边三角形时，由PM=PQ，设P（m，0），作QN⊥x轴于N，由∠NPQ+∠BPQ=180°，∠BPQ+∠PCQ=180°，推出∠NPQ=∠PCQ=45°，推出△PQN是等腰直角三角形，求出PQ即可，再列出方程解决问题．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²-2ax-6的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，
∴C（0，-6），
∴OC=6，
∵$\frac{1}{2}$•AB•OC=30，
∴AB=10，
∵抛物线的对称轴x=-$\frac{-2a}{2a}$=1，
∴A（-4，0），b（6，0），
把点A（-4，0）代入y=ax²-2ax-6得a=$\frac{1}{4}$
设直线AC的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x-6．

（2）∵△PBC的外接圆的圆心在线段BC的垂直平分线y=-x上，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{1}{2}x-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=6}\end{array}\right.$（舍弃），
∴点M坐标为（4，-4），
如图1中，作MN⊥AB于N，

∵MP=MB，NM⊥PB，
∴PN=NB=2，
∴OP=2，AP=6，
∴t=6时圆心在抛物线上．

（3）①a、∵MP=MB，
∴当∠PMB=90°时，∠PBM=45°，此时点M在BC上，点P与点O重合，t=4．
b、如图2中，当∠PMB=45°时，设M（m，-m），

∵∠PMB=∠BOM，∠MBP=∠MBO，
∴△BMP∽△BOM，
∴$\frac{BM}{OB}$=$\frac{BP}{BM}$，
∴BM²=BP•BO，
∴m²+（6-m）²=6（12-2m），
解得m=3$\sqrt{2}$或-3$\sqrt{2}$（舍弃），
此时AP=AB-PB=10-（12-6$\sqrt{2}$）=6$\sqrt{2}$-2，
∴t=6$\sqrt{2}$-2．
c、如图3中，当P在B右侧时，∠PMB=45°，

由△PBM∽△PMO，得PM²=PB•PO，
∴m²+（m-6）²=（2m-12）（2m-6），
∴m=6+3$\sqrt{2}$或6-3$\sqrt{2}$（舍弃），
此时PB=6$\sqrt{2}$，AP=10+6$\sqrt{2}$，
∴t=10+6$\sqrt{2}$，
综上所述，当t=4s或（6$\sqrt{2}$-2）s或（10+6$\sqrt{2}$）s时，△MPB有一个内角为45°．

②a、如图4中，设⊙M与y轴的另一个交点为Q，则根据对称性可知PC=BQ．

当△PQM是等边三角形时，PQ=PM，设P（m，0），
则有（$\sqrt{2}$m）²=（$\frac{m+6}{2}$）²+（$\frac{6-m}{2}$）²，
解得m=±2$\sqrt{3}$．
此时P（-2$\sqrt{3}$，0）或（2$\sqrt{3}$，0），
∴t=4-2$\sqrt{3}$和4+2$\sqrt{3}$．
b、∠如图5中，作CQ⊥OC交⊙M于Q，根据对称性可知，BQ=CP．

当△PMQ是等边三角形时，
∵PM=PQ，设P（m，0），作QN⊥x轴于N，
∵∠NPQ+∠BPQ=180°，∠BPQ+∠PCQ=180°，
∴∠NPQ=∠PCQ=45°，
∴△PQN是等腰直角三角形，
∴PQ=6$\sqrt{2}$，
∴PM=PQ=6$\sqrt{2}$，
则有（$\frac{m-6}{2}$）²+（$\frac{m+6}{2}$）²=（6$\sqrt{2}$）²，
∴m=6$\sqrt{3}$或-6$\sqrt{3}$（舍弃），
∴此时P（6$\sqrt{3}$，0），t=4+6$\sqrt{3}$．
综上所述t=（4-2$\sqrt{3}$）s或（4+2$\sqrt{3}$）s或（4+6$\sqrt{3}$）s时，点P、Q、M为顶点的三角形是等边三角形．
故答案为（4-2$\sqrt{3}$）s或（4+2$\sqrt{3}$）s或（4+6$\sqrt{3}$）s．

点评 本题考查二次函数综合题、三角形外接圆、等边三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题时的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会分类讨论的思想思考问题，本题容易漏解，考虑问题要全面，属于中考压轴题．