Question

（2013•金平区模拟）如图1，在Rt△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB=2

5

，点C、点D分别在OA、OB上，OC=OD=2．如图2，Rt△OAB绕点O顺时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），得到△OMN．连接DN，若ND⊥OD，ON与CD交于点E．
（1）求tanθ的值；
（2）求DE的长；
（3）延长DC交MN于点F，连接OF，请你确定线段OF与线段MN的关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理求出DN的值，根据tanθ=tan∠DON=

DN

OD

代入求出即可；      
（2）证△OCE∽△NDE，得出

CE

DE

=

OC

DN

，求出CE=

1

2

DE，在Rt△ODC中，由勾股定理求出DC，即可得出答案；
（3）OF=

1

2

MN，OF⊥MN．理由是：证△NFE∽△ODE，得出

FN

OD

=

EN

ED

，证△OCE∽△NDE，得出

OE

NE

=

OC

DN

=

2

4

，求出FN，根据勾股定理求出MN，即可得出F为等腰直角三角形OMN斜边MN的中点，即可得出答案．

解答：解：（1）在Rt△ODN中，OD=2，ON=OB=2

5

，
∴DN=

ON2-OD2

=

20-4

=4，
∴tanθ=tan∠DON=

DN

OD

=

4

2

=2；        
                      
（2）∵∠AOD=90°，
∴OC⊥OD，
∵ND⊥OD，
∴OC∥DN，
∴△OCE∽△NDE，
∴

CE

DE

=

OC

DN

，
∵OC=2，DN=4，
∴CE=

1

2

DE，
在Rt△ODC中，DC=

OC2+OD2

=

22+22

=2

2

，
∴DE=

2

3

DC=

4

3

2

；
                                               
（3）OF=

1

2

MN，OF⊥MN．理由是：
∵∠FNE=∠ODE=45°，∠FEN=∠OED，
∴△NFE∽△ODE，
∴

FN

OD

=

EN

ED

，
由（2）得△OCE∽△NDE，
∴

OE

NE

=

OC

DN

=

2

4

，
∴OE=

1

2

NE，
∴NE=

2

3

ON=

4

3

5

，
∴FN=

EN

ED

×OD=

4 3 5

4 3 2

×2=

10

，
∵在Rt△OMN中，MN=

OM2+ON2

=

(2 5 )2+(2 5 )2

=2

10

，
∴FN=

1

2

MN，
∴F为等腰直角三角形OMN斜边MN的中点，
∴OF=

1

2

MN，OF⊥MN．

点评：本题考查了等腰直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力．