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    （2010•硚口区模拟）如图1，抛物线y=a（x-2）2-2的顶点为C，抛物线与x轴交于A，B两点（其中A点在B点的左边），CH⊥AB于H，且tan∠ACH=
    12

    （1）求抛物线的解析式；
    （2）在坐标平面内是否存在一点D，使得以O、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，求所有的符合条件的D点的坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）如图2，将（1）中的抛物线平移，使其顶点在y轴的正半轴上，在y轴上是否存在一点M，使得平移后的抛物线上的任意一点P到x轴的距离与P点到M的距离相等？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据给出的抛物线解析式，能得到顶点C的坐标，则CH长可求，在Rt△ACH中，结合∠ACH的正弦值能得到AH的长，在确定点A的坐标后代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值．
    （2）这道题需要充分利用等腰梯形的性质：两底平行、两腰相等、对角线相等、同一底上的两内角相等．首先根据上述特点中的相等角，找出点D的大致位置，然后再根据相等的边长求出点D的坐标，在求解时要分三种情况考虑：以OB、OC、BC为下底进行考虑．
    （3）首先用未知数表示平移后的抛物线解析式（平移过程中，二次项系数是不变的）和点M的坐标，然后用两点间的距离公式求出PM的长，依据“P到x轴的距离与P点到M的距离相等”作为等量条件求出点M的坐标．
    解答：解：（1）由抛物线的解析式知：C（2，-2）；
    在Rt△ACH中，CH=2，AH=CH•tan∠ACH=2×
    1
    2
    =1，则 A（1，0）、B（3，0）．
    将点A的坐标代入抛物线的解析式中，得：
    0=a（1-2）2-2，则 a=2；
    ∴抛物线的解析式：y=2（x-2）2-2=2x2-8x+6．

    （2）假设存在符合条件的D点．
    连接OC、BC，由B（3，0）、C（2，-2）得：
    OB=3；∠HOC=∠HCO=45°，OC=2
    		2
    ；tan∠HBC=2，BC=
    		5
    ．
    ①当OB∥CD1、OD1=BC时，如右图；
    点D1的横坐标的纵坐标与BH长相同，则点D1（1，-2）．
    ②当OD2∥BC、OC=BD2时；
    tan∠D2OB=tan∠HBC=2，则 直线OD2：y=2x；
    设点D2（x，2x），则：BD2=
    		(x-3)2+(2x-0)2
    =
    		5x2-6x+9
    ，
    由OC=BD2得：2
    		2
    =
    		5x2-6x+9
    ，解得：x=
    1
    5
    ，x=1（舍）
    即点D2（
    1
    5
    ，
    2
    5
    ）．
    ③当OC∥BD3、OD3=BC时；
    ∠D3BO=∠HOC=45°，即tan∠D3BO=1，可设 B（x，3-x）；
    由OD3=BC=
    		5
    ，得：
    x2+（3-x）2=5，解得 x=2，x=1（舍）
    即点D3（2，1）．
    综上可知，存在符合条件的点D，且坐标为：（1，-2）、（
    1
    5
    ，
    2
    5
    ）、（2，1）．

    （3）设平移后的抛物线解析式为：y=2x2+m，那么其顶点为（0，m），若存在符合条件的点M，则M（0，2m）；（m＞0）
    设P（x，2x2+m），则：
    PM2=（x-0）2+（2x2+m-2m）2=x2+4x4-4mx2+m2，P到x轴的距离：2x2+m；
    依题意有：x2+4x4-4mx2+m2=（2x2+m）2，解得：m=
    1
    8
    ．
    ∴存在符合条件的点M，且坐标为 M（0，
    1
    4
    ）．
    点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、等腰梯形的判定和性质、解直角三角形、坐标系两点间的距离公式等重要知识．最后两个小题是该题的难点，特别是（2）题，由于考虑不够全面而造成的漏解是容易出错的地方．
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    （2）画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标；
    （3）将△ABC先向上平移1个单位，接着再向右平移3个单位得到△A3B3C3，请在坐标系中先画出△A3B3C3，此时我们发现△A3B3C3可以由△A2B2C2经过旋转变换得到，其变换过程是将△A2B2C2
    向上平移一个单位，然后绕点B2逆时针旋转90°
    向上平移一个单位，然后绕点B2逆时针旋转90°
    ．

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    （2010•硚口区模拟）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D点，E是AC的延长线上一点，连接BE，∠BEC+2∠CBE=90°．
    （1）求证：BE是⊙O的切线；
    （2）若tan∠CBE=
    12
    ，求sin∠E的值．

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