Question

5．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE，EF和CF．求证：
（1）AE=CF．
（2）AE⊥CF．

Answer 1

分析 （1）根据SAS证明△ABE≌△CBF即可得出AE=CF；
（2）先延长AE交CF于D，根据三角形的内角和得：∠CDE=∠ABC=90°，则AE⊥CF．

解答 证明：（1）如图1，∵∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠EBF=90°，
在△ABE和△CBF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABC=∠EBF}\\{BE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE=CF；
（2）如图2，延长AE交CF于D，
∵△ABE≌△CBF，
∴∠BAE=∠BCF，
∵∠AEB=∠CED，
∴∠CDE=∠ABC=90°，
∴AD⊥CF，
即AE⊥CF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质，做好本题要熟练掌握全等的判定方法：SSS、ASA、AAS、SAS；在几何证明中，常利用两个三角形中有两个角对应相等，根据三角形的内角和定理，得第三个角对应相等．