数学课堂上.徐老师出示一道试题:如图1所示.在正三角形ABC中.M是BC边上任意一点.P是BC延长线上一点.N是∠ACP的平分线上一点．若∠AMN=60°.求证:AM=MN．(1)经过思考.小明展示了一种正确的证明过程．请你将证明过程补充完整．证明:在AB上截取EA=MC.连接EM.得△AEM．∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN.∠2=180°-∠AMB-∠B.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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数学课堂上，徐老师出示一道试题：
如图1所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点．若∠AMN=60°，求证：AM=MN．
（1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程．请你将证明过程补充完整．
证明：在AB上截取EA=MC，连接EM，得△AEM．
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，∴∠1=∠2．
又CN平分∠ACP，∠4=

∠ACP=60°．∴∠MCN=∠3+∠4=120°…①
又∵BA=BC，EA=MC，∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM．
∴△BEM为等边三角形．∴∠6=60°．
∴∠5=180°-∠6=120°．…②
∴由①②得∠MCN=∠5．
在△AEM和△MCN中，
∵

．
∴△AEM≌△MCN （ASA）．∴AM=MN．

（2）若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A₁B₁C₁D₁”（如图2），N₁是∠D₁C₁P₁的平分线上一点，则当∠A₁M₁N₁=90°时，结论A₁M₁=M₁N₁．是否还成立？（直接写出答案，不需要证明）
（3）若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形A_nB_nC_nD_n…X_n”，请你猜想：当∠A_nM_nN_n=

°时，结论A_nM_n=M_nN_n仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）

分析：（1）由△AEM≌△MCN 所需角边角条件而得；（2）判断，成立，再截去；（3）当n=3，4时的度数，来猜想．

解答：（1）证明：由下一步△AEM≌△MCN （ASA）所需条件证得：
∠1=∠2．AE=MC，∠MCN=∠5；

（2）解：成立．在A₁B₁上截取A₁H=M₁C₁；

（3）由∠AMN=60°=

(3-2)

×180，∠A₁M₁N₁=90°=

(4-2)

×180°，
猜想：∠A_nM_nN_n=

(n-2)

×180°．

点评：本题考查了正方形的性质，（1）由△AEM≌△MCN 所需角边角条件来求；（2）判断成立后，再截去；（3）当n等于3，4时，得到的度数，从而猜得当n=n时的度数．

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如图（十）所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点．若∠AMN＝60°，求证：AM＝MN．

(1)经过思考，小明展示了一种正确的证明过程．请你将证明过程补充完整．

证明：在AB上截取EA＝MC，连结EM，得△AEM．

∵∠1＝180°－∠AMB－∠AMN，∠2＝180°－∠AMB－∠B，∠AMN＝∠B＝60°，∴∠1＝∠2．

又CN平分∠ACP，∠4＝∠ACP＝60°．∴∠MCN＝∠3＋∠4＝120°…………①

又∵BA＝BC，EA＝MC，∴BA－EA＝BC－MC，即BE＝BM．

∴△BEM为等边三角形．∴∠6＝60°．

∴∠5＝180°－∠6＝120°．………②

∴由①②得∠MCN＝∠5．

在△AEM和△MCN中，

∵

∴△AEM≌△MCN (ASA)．∴AM＝MN．

(2)若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A₁B₁C₁D₁”（如图），N₁是∠D₁C₁P₁的平分线上一点，则当∠A₁M₁N₁＝90°时，结论A₁M₁＝M₁N₁．是否还成立？（直接写出答案，不需要证明）

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证明：在AB上截取EA＝MC，连结EM，得△AEM．

∵∠1＝180°－∠AMB－∠AMN，∠2＝180°－∠AMB－∠B，∠AMN＝∠B＝60°，∴∠1＝∠2．

又CN平分∠ACP，∠4＝∠ACP＝60°．∴∠MCN＝∠3＋∠4＝120°…………①

又∵BA＝BC，EA＝MC，∴BA－EA＝BC－MC，即BE＝BM．

∴△BEM为等边三角形．∴∠6＝60°．

∴∠5＝180°－∠6＝120°．………②

∴由①②得∠MCN＝∠5．

在△AEM和△MCN中，

∵________________________________

∴△AEM≌△MCN (ASA)．∴AM＝MN．

(2)若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A₁B₁C₁D₁”（如图），N₁是∠D₁C₁P₁的平分线上一点，则当∠A₁M₁N₁＝90°时，结论A₁M₁＝M₁N₁．是否还成立？（直接写出答案，不需要证明）

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∵∠1＝180°－∠AMB－∠AMN，∠2＝180°－∠AMB－∠B，∠AMN＝∠B＝60°，∴∠1＝∠2．
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又∵BA＝BC，EA＝MC，∴BA－EA＝BC－MC，即BE＝BM．
∴△BEM为等边三角形．∴∠6＝60°．
∴∠5＝180°－∠6＝120°．………②
∴由①②得∠MCN＝∠5．
在△AEM和△MCN中，
∵
∴△AEM≌△MCN (ASA)．∴AM＝MN．
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