Question

（2012•丰台区一模）将矩形纸片分别沿两条不同的直线剪两刀，可以使剪得的三块纸片恰能拼成一个等腰三角形（不能有重叠和缝隙）．
小明的做法是：如图1所示，在矩形ABCD中，分别取AD、AB、CD的中点P、E、F，并沿直线PE、PF剪两刀，所得的三部分可拼成等腰三角形△PMN （如图2）．
（1）在图3中画出另一种剪拼成等腰三角形的示意图；
（2）以矩形ABCD的顶点B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系（如图4），矩形ABCD剪拼后得到等腰三角形△PMN，点P在边AD上（不与点A、D重合），点M、N在x轴上（点M在N的左边）．如果点D的坐标为（5，8），直线PM的解析式为y=kx+b，则所有满足条件的k的值为

8

5

，

4

3

或2

．

Answer 1

分析：（1）可直接沿AD、CD中点，BC、CD中点剪开；
（2）△MNP是等腰三角形，分①PM=PN，②PM=MN，③PN=MN三种情况取AB、CD的中点E、F，沿PE、PF剪开，拼接成等腰三角形，然后求出相应的k值．

解答：解：（1）如图1：沿AD、CD中点，BC、CD中点剪开，即可得到一个等腰△PMN；

（2）取AB、CD的中点E、F．
∵点D的坐标为（5，8），四边形ABCD是矩形，
∴E（0，4），F（5，4）．
①如图2，若PM=PN，则P（2.5，8）．
将点P、E的坐标分别代入直线PM的解析式为y=kx+b，得

8=2.5k+b 4=b

，
解得，

k= 8 5 b=4

；

②如图3，若PM=MN，则PM=MN=10，所以，EP=5，
∵AE=4，
∴在Rt△APE中，根据勾股定理知AP=

EP2-AE2

=

52-42

=3，
∴P（3，8）．
将点P、E的坐标分别代入直线PM的解析式为y=kx+b，得

8=3k+b 4=b

，
解得，

k= 4 3 b=4

；

③如图4，若PN=MN，则PN=MN=10，
所以，PF=5，
∵DF=4，
∴在Rt△PDF中，根据勾股定理知PD=

PF2-DF2

=

52-42

=3
∴P（2，8）．
将点P、E的坐标分别代入直线PM的解析式为y=kx+b，得

8=2k+b 4=b

，
解得，

k=2 b=4

．
综上所述，
k=

8

5

，

4

3

或2；
故答案是：

8

5

，

4

3

或2．

点评：本题考查了一次函数综合题．解答（2）题时，需要分类讨论，以防漏解．