Question

在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D是AB上一点，AE⊥CD交其延长线于点E，且AE=CD，BD=8cm，求D到AC的距离．

Answer 1

解：延长AE交CB的延长线于F点，作DG⊥AC于G，如图
∵AE⊥CD，
∴∠AED=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EAD=∠DCB，
∵在△ABF和△CBD中，
，
∴△ABF≌△CBD（AAS），
∴AF=CD，
∵AE=CD，
∴AE=AF，即AE=CF，
而AE⊥CD，
∴△AEC为等腰三角形，
∴CD平分∠ACF，
而DG⊥AC，DB⊥BC，
∴DG=DB=8cm，
即D到AC的距离为8cm．
分析：延长AE交CB的延长线于F点，作DG⊥AC于G，利用等角的余角相等得到∠EAD=∠DCB，然后根据“AAS”判断△ABF≌△CBD，得到AF=CD，而AE=CD，所以AE=AF，即AE=CF，而AE⊥CD，根据等腰三角形的判定方法可得到△AEC为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质得CD平分∠ACF，然后根据角平分线的性质得到DG=DB=8cm．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰三角形的判定与性质以及角平分线定理．