Question

菱形ABCD中，∠B=60°，一块三角板的60°角的顶点绕点A转动，两边分别交BC、CD于点E、F．
（1）说明△ABC、△ACD都是等边三角形．
（2）判断△AEF的形状，说明理由？
（3）如果AB=2，写出△CEF的周长的最小值．

Answer 1

解：（1）∵菱形ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠B=∠D=60°，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形．

（2）∵∠B=∠ACD=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
∴△ABE≌△ACF，
∴AE=AF，又∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形；

（3）∵EC+CF=BE+EC=BC=2，
△AEF是等边三角形，
∴EF=AE，
∴△CEF的周长=2+AE，
由“垂线段最短”，当AE⊥BC时，AE最短，AE=，
∴△CEF的周长=2+．
分析：（1）根据菱形的邻边相等即可作出判断；
（2）根据题意证明△ABE≌△ACF，得出AE=AF，再根据∠EAF=60°即可作出判断．
（3）先根据（2）的结论得出△CEF的周长=2+AE，继而讨论AE的最小值即可．
点评：本题考查菱形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是掌握菱形的基本性质与全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质的结合．