练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    17．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A在x轴上，点B的纵坐标为2，点P为y轴右侧抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点D．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）若点P的横坐标为m，直线AB与y轴交于点E，当m为何值时，以E，C，P，D为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由；
    （3）在直线AB的下方的抛物线上存在点P，满足∠PBD=45°，请直接写出此时的点P的坐标．

    分析 （1）只需先求出点A、B的坐标，然后运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；
    （2）易求出点E、C的坐标，从而求出EC的长．易证EC∥DP，要使以E，C，P，D为顶点的四边形是平行四边形，只需DP=EC，只需用含有m的代数式表示出点D、P的纵坐标，然后根据DP=EC建立关于m的方程并解此方程，就可解决问题；
    （3）连接BP，与x轴交于点F，过点B作BH⊥x轴于H，过点F作FG⊥AB于G，如图所示．要求点P的坐标，只需求出直线BP的解析式，只需求出点F的坐标，只需求出AF的长，易证△AOE∽△AGF∽△AHB，根据相似三角形的性质可得AG=2GF，AH=2BH=4，根据勾股定理可得AB=2$\sqrt{5}$．由∠ABP=45°，FG⊥AB可得FG=BG．设FG=x，则有AG=2x，BG=x，AB=3x=2$\sqrt{5}$，从而可求出x，根据勾股定理可求出AF，问题得以解决．

    解答 解：（1）∵点A、B在直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$上，yA=0，yB=2，
    ∴xA=-1，xB=3，
    ∴A（-1，0），B（3，2）．
    ∵点A、B在抛物线y=x2+bx+c上，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
    解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
    ∴抛物线的解析式为y=x2-$\frac{3}{2}$x-$\frac{5}{2}$；

    （2）∵点C是抛物线y=x2-$\frac{3}{2}$x-$\frac{5}{2}$与y轴的交点，
    ∴C（0，-$\frac{5}{2}$）．
    ∵点E是直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$与y轴的交点，
    ∴E（0，$\frac{1}{2}$），
    ∴EC=$\frac{1}{2}$-（-$\frac{5}{2}$）=3．
    ∵PD⊥x轴，
    ∴xD=xP=m，
    ∴yD=$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$，yP=m2-$\frac{3}{2}$m-$\frac{5}{2}$，
    ∴DP=|m2-$\frac{3}{2}$m-$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$|=|m2-2m-3|．
    ∵EC⊥x轴，DP⊥x轴，
    ∴EC∥DP．
    ∴当DP=EC=3时，以E、C，P，D为顶点的四边形是平行四边形，
    此时|m2-2m-3|=3，
    解得m1=1+$\sqrt{7}$，m2=1-$\sqrt{7}$，m3=0，m4=2．
    ∵点P为y轴右侧抛物线上一动点，
    ∴m=1+$\sqrt{7}$或2；

    （3）点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
    提示：连接BP，与x轴交于点F，过点B作BH⊥x轴于H，过点F作FG⊥AB于G，如图所示．
    易证△AOE∽△AGF∽△AHB，从而可得$\frac{GF}{AG}$=$\frac{BH}{AH}$=$\frac{OE}{AO}$=$\frac{1}{2}$，
    则有AG=2GF，AH=2BH=4，AB=2$\sqrt{5}$．
    由∠ABP=45°，FG⊥AB可得FG=BG．
    设FG=x，则AG=2x，AF=$\sqrt{5}$x，BG=x，AB=3x=2$\sqrt{5}$，
    即可得到x=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，AF=$\frac{10}{3}$，OF=AF-AO=$\frac{7}{3}$，F（$\frac{7}{3}$，0），
    运用待定系数法可得直线BF的解析式为y=3x-7．
    解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-7}\\{y={x}^{2}-\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，得
    $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{3}{2}}\\{{y}_{1}=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=3}\\{{y}_{2}=2}\end{array}\right.$，
    ∴点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．

    点评 本题主要考查了运用待定系数法求二次函数的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，运用分类讨论的思想是解决第（2）小题的关键，具有解三角形意识（在△ABF中知道三个元素∠BAF、∠ABF及AB可求AF等其它元素）是解决第（3）小题的关键．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    18．解下列不等式组：
    （1）$\left\{\begin{array}{l}{3+2x＜7}\\{3-2x≤1}\end{array}\right.$    
    （2）$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x-1}{2}≤1}\\{x-2＜4（x+1）}\end{array}\right.$．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    19．已知a（a-1）+（b-a2）=8，求$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}-ab$的值．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    5．如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A（-1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）点P在x轴上，以A、P、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；
    （3）若⊙M的半径为1，圆心M在抛物线上运动，当⊙M与y轴相切时，求⊙M上的点到点C的最短距离．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    12．如图，平面直角坐标系中三点A（3，0），B（0，2），P（x，0）（x＜0），连结BP，过点P作PC⊥PB交过点A的直线x=3于点C（3，y）
    （1）试把y用含x的代数式来表示；
    （2）当x=-1时，求BC与PA的交点Q的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    2．某男子篮球国家队为备战“第十八届男蓝世锦赛”，选拔一名“得分后卫”，队里这个位置上的人选有甲、乙二人，两个队员在教练规定的5个定点进行投篮比赛（这5个定点到篮筐距离均相等），每个定点投篮10次，现对每个定点的进球个数进行统计，小刚依据统计数据绘制了如图所示尚不完整的统计图表．
    球员甲、乙进球成绩统计表
     定点A定点B定点C定点D定点E
    球员甲成绩867410
    球员乙成绩7876a
    小刚的计算结果
     平均数方差
    球员甲74
    （1）观察球员乙投篮进球数的扇形统计图（图1），回答：
    ①乙球员5个定点投篮进球数的众数是7，中位数是7；
    ②进球数为7的扇形所对的圆心角是216°
    （2）a=7，$\overline{x{\;}_{乙}}$=7．
    （3）请完成图2中表示乙成绩变化情况的折线图；
    （4）①观察图2，可以看出乙的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”），计算乙成绩的方差，并验证你的判断．
    ②请你从平均数的方差的角度分析，谁将被选中．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    9．△ABC中，DE垂直平分BC，∠BAC的平分线交DE于E，EF⊥AB交直线AB于F．
    （1）如图①，求证：AC+AB=2AF；
    （2）当∠BAC外角平分线交DE于E时，如图②、如图③，AC、AB、AF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明；
    （3）在（2）的条件下，若AB+AC=10，AF=2，则AB=3或7．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    6．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D在AC上，M为EC的中点．
    （1）求证：△BDM为等腰直角三角形；
    （2）将△ADE绕点A逆时针旋转45°，其他条件不变，结论是否依然成立？
    将△ADE绕点A逆时针旋转90°，其他条件不变，结论是否依然成立？
    将△ADE绕点A逆时针旋转135°，其他条件不变，结论是否依然成立？
    以上三种情况请你选择一种情况，画出相应的图形，并证明你的结论．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    7．一条河的两岸有一段是平行的．在河的这一岸每相距5米栽一棵树，在河的对岸每相距50米有一根电线杆．在这岸离开岸边25米处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽是37.5m．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案