Question

学校举行数学知识竞赛，派了两位老师到超市购买钢笔和笔记本作为奖品，经了解得知，该超市的钢笔和笔记本价格分别为12元和8元，他们准备购买两种奖品30份．
（1）如果他们计划用300元购买奖品，那么能买钢笔与笔记本各多少？
（2）学校两位老师根据比赛的设奖情况，决定所购买的钢笔的数量要少于笔记本的数量，但又不少于笔记数量的，如果设他们买的钢笔为x支，买两种奖品共花费w元．
①请写出w（元）关于x（支）的函数关系式，并写出x的取值范围．
②请你帮这两位老师计算一下，购买这两种奖品各多少时花费最少，最少花费是多少？

Answer 1

解：（1）设购买钢笔x支，那么购买笔记本是（30-x）本，
根据题意得：12x+8（30-x）=300，
解得，x=15，
则30-x=30-15=15，
如果他们计划用300元购买奖品，那么能买钢笔15支，笔记本各15本；

（2）如果设他们买的钢笔为x支，买两种奖品共花费w元．
根据所购买的钢笔的数量要少于笔记本的数量，但又不少于笔记数量的得，
（30-x）≤x＜（30-x），
解得，≤x＜12，
又x只能是正整数，
所以8≤x＜12，
w=12x+8（30-x），
=4x+240，
由此可见当x的值越大时，w的值越大，
所以当x=8，30-x=22时，购买这两种奖品花费最少，
最少花费是：w=4x+240=4×8+240=272，
①w（元）关于x（支）的函数关系式是：w=4x+240，
x的取值范围是；8≤x＜12，
②当购买钢笔8支笔记本22本时，花费最少，最少花费是272元．
分析：（1）根据等量关系：钢笔的价钱+笔记本的价钱=300可得一元一次方程，解此方程的购买钢笔和笔记本各多少；
（2）先根据购买钢笔和笔记本的总数和它们之间的数量关系求出x的取值范围，然后列出用x表示w的函数解析式，发现w随着x的增大而增大，从而根据x的取值范围得出w的最小值，即最小花费．
点评：本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数w随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．