Question

【题目】如图所示，直线DP和圆O相切于点C，交直线AE的延长线于点P，过点C作AE的垂线，交AE于点F，交圆O于点B，作平行四边形ABCD，连接BE，DO，CO．
（1）求证：DA=DC；
（2）求∠P及∠AEB的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，

∵CB⊥AE，

∴AD⊥AE，

∴∠DAO=90°，

∵DP与⊙O相切于点C，

∴DC⊥OC，

∴∠DCO=90°，

在Rt△DAO和Rt△DCO中，

，

∴Rt△DAO≌△Rt△DCO，

∴DA=DC

（2）解：∵CB⊥AE，AE是直径，

∴CF=FB= BC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，

∴CF= AD，

∵CF∥DA，

∴△PCF∽△PDA，

∴ = = ，

∴PC= PD，DC= PD，

∵DA=DC，

∴DA= PD，

在Rt△DAP中，∠P=30°，

∵DP∥AB，

∴∠FAB=∠P=30°，

∵AE是⊙O的直径，

∴∠ABE=90°，

∴∠AEB=60°．

【解析】（1）欲证明DA=DC，只要证明Rt△DAO≌△Rt△DCO即可；（2）想办法证明∠P=30°即可解决问题；
【考点精析】本题主要考查了平行四边形的性质和切线的性质定理的相关知识点，需要掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题．