Question

如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．

（1）求证：；

（2）在图1中，若在上，且，则成立吗？为什么？

（3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题：

①如图2，在直角梯形ABCD中，∥，，，是的中点，且∠DCE＝45°，求DE的长；

②如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，,则

的面积为             （直接写出结果，不需要写出计算过程）．

 

Answer 1

证明：（1）在正方形ABCD中

      CB=CD, ∠B=∠CDA=90°

    ∴∠CDF=∠B =90°

∵DF=BE

∴△BCE≌△DCF(SAS)    

    ∴CE＝CF                  

（2）GE＝BE＋GD成立

理由：∵∠BCD=90°∠GCE＝45°

∴∠BCE+∠GCD=45°

∵△BCE≌△DCF(已证)

∴∠BCE=∠DCF

∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE＝45°

∴∠ECG=∠FCG＝45°

∵CE=CF ,CG=CG

∴△ECG≌△FCG(SAS)

∴GE=FG

∵FG=GD+DF

∴GE＝BE＋GD        

（3）①

解：过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G,

由（1）和题设知 DE=DG+BE.

设DG=x,则AD=12-x,DE=x+6,

在Rt△ADE中，AD²+AE²=DE²

∴ 6²+(12-x)²=(x+6)²  解得 x=4.

∴DE=6+4=10.                   

② 15.