Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2cm，AC=4cm．
（1）在直角三角形中作一个正方形EFMN，使得EF、EN分别在边AB、AC上，点M在BC边上，求正方形的边长．
（2）将（1）中的正方形EFMN沿着射线AB以1cm/s的速度向右平移，当点E平移至与B重合时，正方形停止运动，设平移的时间为t s，正方形EFMN与Rt△ABC重叠部分的面积为S，求使用时间t表示S．

Answer 1

分析 （1）设正方形的边长为a．由MN∥AB，可得$\frac{MN}{AB}$=$\frac{CN}{CA}$，列出方程即可解决问题；
（2）分三种情形讨论求解即可；

解答 解：（1）设正方形的边长为a．
∵MN∥AB，
∴$\frac{MN}{AB}$=$\frac{CN}{CA}$，
∴$\frac{a}{2}$=$\frac{4-a}{4}$，
∴a=$\frac{4}{3}$cm，
∴正方形的边长为$\frac{4}{3}$cm．

（2）当0＜t≤$\frac{2}{3}$时，S=$\frac{16}{9}$-$\frac{1}{2}$•x•2x=-x²+$\frac{16}{9}$．
当$\frac{2}{3}$＜t≤$\frac{4}{3}$时，S=$\frac{1}{2}$[（$\frac{4}{3}$-x）+（2-x）]$•\frac{4}{3}$=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{20}{9}$，
当$\frac{4}{3}$＜t≤2时，S=$\frac{1}{2}$•（2-x）•（4-2x）=x²-4x+4．

点评 本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、多边形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用 分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．